Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
oint|z|=2 z cos zz-i d z.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a integral usando a fórmula integral de Cauchy. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, especificamente sobre integrais de contorno e resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a função pode ter problemas (singularidades) dentro do caminho e aplicar a fórmula de Cauchy.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a função . A única parte que pode causar problemas é o denominador , que se anula quando . Então, temos uma singularidade em . Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do caminho .

Passo 3

Como (porque está a uma distância de 1 da origem no plano complexo) e nosso caminho é , claramente está dentro do círculo de raio 2. Isso significa que podemos usar a fórmula de Cauchy para calcular a integral, focando no resíduo da função em .

Passo 4

A fórmula de Cauchy para integrais de contorno nos diz que:
oint|z|=2 z cos zz-i , dz = 2pi i cdot Res(z cos zz-i, i)
Aqui, representa o resíduo da função na singularidade .

Passo 5

Para encontrar o resíduo, vamos simplificar a função perto de Res(z cos zz-i, i) = limz to i (z - i) cdot z cos zz - i = limz to i z cos z = i cos i :
Então, o resíduo é .

Passo 6

Agora, substituímos o resíduo na fórmula de Cauchy:
oint|z|=2 z cos zz-i , dz = 2pi i cdot i cos i = 2pi i^2 cos i
Sabemos que 2pi (-1) cos i = -2pi cos i , então:

Resposta

A integral vale .

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