Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para resolver a integral
usando a fórmula integral de Cauchy. Isso faz parte da matéria de Análise Complexa, especificamente sobre integrais de contorno e resíduos. Para resolver, vamos precisar identificar os pontos onde a função pode ter problemas (singularidades) dentro do caminho
e aplicar a fórmula de Cauchy.
Passo 2
Primeiro, vamos olhar para a função
. A única parte que pode causar problemas é o denominador
, que se anula quando
. Então, temos uma singularidade em
. Agora, precisamos verificar se esse ponto está dentro do caminho
.
Passo 3
Como
(porque
está a uma distância de 1 da origem no plano complexo) e nosso caminho é
, claramente
está dentro do círculo de raio 2. Isso significa que podemos usar a fórmula de Cauchy para calcular a integral, focando no resíduo da função em
.
Passo 4
A fórmula de Cauchy para integrais de contorno nos diz que:
Aqui,
representa o resíduo da função na singularidade
.
Passo 5
Para encontrar o resíduo, vamos simplificar a função perto de
:
Então, o resíduo é
.
Passo 6
Agora, substituímos o resíduo na fórmula de Cauchy:
Sabemos que
, então:
Resposta
A integral vale
.
Exercícios relacionados
Seja
o círculo unitário
, com orientação anti-horária e
uma constante real qualquer. Mostre que
A seguir, escreva a integral em termos de
para deduzir a fórmula
Sugestão: Defina a função
e aplique a fórmula integral de Cauchy com
.
Considere duas partículas
e
viajando segundo as trajetórias:
e
. As partículas colidem? Onde? Qual instante?
Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
, onde
é o quadrado de vértices
e
.
Nos itens 1 a 3, calcule a integral de
ao longo do caminho
(
e
são descritos em cada caso).
e
.