Seja
o círculo unitário
, com orientação anti-horária e
uma constante real qualquer. Mostre que
A seguir, escreva a integral em termos de
para deduzir a fórmula
Sugestão: Defina a função
e aplique a fórmula integral de Cauchy com
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um círculo unitário
definido por
com
, e uma constante real
. A primeira parte pede para mostrar que:
Depois, temos que escrever essa integral em termos de
para chegar na fórmula:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração no plano complexo, especificamente a Fórmula Integral de Cauchy. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados no começo, vamos ir passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos focar na primeira integral:
Aqui,
é nosso círculo unitário, e estamos integrando a função
ao longo desse círculo. A Fórmula de Cauchy nos ajuda a resolver integrais desse tipo, especialmente quando a função tem um ponto singular dentro do contorno de integração.
Passo 3
A Fórmula Integral de Cauchy diz que, se tivermos uma função
analítica dentro e sobre uma curva fechada
, exceto em um ponto
dentro de
, então:
No nosso caso, podemos definir
e
. Como
está dentro do nosso círculo
, podemos aplicar a fórmula diretamente.
Passo 4
Aplicando a Fórmula de Cauchy com
e
:
Então, mostramos que a integral é igual a
.
Passo 5
Agora vamos para a segunda parte do exercício. Queremos escrever a integral em termos de
. Sabemos que
, então podemos substituir isso na integral.
Primeiro, vamos expressar
em termos de
:
Substituindo
e
na integral original:
Passo 6
Vamos simplificar
. Sabemos que
, então:
Substituindo de volta na integral:
Passo 7
Vamos separar a parte real e a imaginária da integral:
Como
, temos:
Passo 8
Observamos que a função
é ímpar em relação a
, ou seja,
. Portanto, a integral dessa função de
a
será zero.
Ficamos apenas com:
Passo 9
Lembrando que a integral original
, igualamos:
Dividindo ambos os lados por
:
Passo 10
Perceba que a função
é par, ou seja,
. Então, podemos escrever:
Igualando a
:
Dividindo por 2 ambos os lados:
Resposta
A integral vale
e, em termos de
, temos:
Exercícios relacionados
Considere duas partículas
e
viajando segundo as trajetórias:
e
. As partículas colidem? Onde? Qual instante?
Nos itens 1 a 3, mostre que
(
e
serão especificados).
e
é o contorno do quadrado de vértices
.
Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
.
Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
, onde
é o quadrado de vértices
e
.