Seja C o círculo unitário z=e^i theta,-pi <= theta <= pi, com orientação anti-horária e k uma constante real qualquer. Mostre que
integralC e^k zz d z=2 pi i
A seguir, escreva a integral em termos de theta para deduzir a fórmula
integral0^pi e^k cos theta cos (k sin theta) d theta=pi
Sugestão: Defina a função g(z0)=integralC e^k zz-z0 d z e aplique a fórmula integral de Cauchy com z0=0.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um círculo unitário integralC e^k zz , dz = 2pi i definido por integral0^pi e^k cos theta cos(k sin theta) , dtheta = pi com , e uma constante real . A primeira parte pede para mostrar que:
Depois, temos que escrever essa integral em termos de para chegar na fórmula:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração no plano complexo, especificamente a Fórmula Integral de Cauchy. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados no começo, vamos ir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira integral:
integralC e^k zz , dz
Aqui, é nosso círculo unitário, e estamos integrando a função ao longo desse círculo. A Fórmula de Cauchy nos ajuda a resolver integrais desse tipo, especialmente quando a função tem um ponto singular dentro do contorno de integração.

Passo 3

A Fórmula Integral de Cauchy diz que, se tivermos uma função integralC f(z)z - z0 , dz = 2pi i cdot f(z0) analítica dentro e sobre uma curva fechada , exceto em um ponto dentro de , então:
No nosso caso, podemos definir e . Como está dentro do nosso círculo , podemos aplicar a fórmula diretamente.

Passo 4

Aplicando a Fórmula de Cauchy com integralC e^k zz , dz = 2pi i cdot e^k cdot 0 = 2pi i cdot 1 = 2pi i e :
Então, mostramos que a integral é igual a .

Passo 5

Agora vamos para a segunda parte do exercício. Queremos escrever a integral em termos de dz = ddtheta(e^itheta) , dtheta = i e^itheta , dtheta . Sabemos que integralC e^k zz , dz = integral-pi^pi e^k e^ithetae^itheta cdot i e^itheta , dtheta = i integral-pi^pi e^k e^itheta , dtheta , então podemos substituir isso na integral.
Primeiro, vamos expressar em termos de :
Substituindo e na integral original:

Passo 6

Vamos simplificar e^k e^itheta = e^k(costheta + isintheta) = e^kcostheta cdot e^i k sintheta = e^kcostheta ( cos(k sintheta) + i sin(k sintheta) ) . Sabemos que i integral-pi^pi e^kcostheta ( cos(k sintheta) + i sin(k sintheta) ) dtheta , então:
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Vamos separar a parte real e a imaginária da integral:
i integral-pi^pi e^kcostheta cos(k sintheta) , dtheta + i^2 integral-pi^pi e^kcostheta sin(k sintheta) , dtheta
Como i integral-pi^pi e^kcostheta cos(k sintheta) , dtheta - integral-pi^pi e^kcostheta sin(k sintheta) , dtheta , temos:

Passo 8

Observamos que a função i integral-pi^pi e^kcostheta cos(k sintheta) , dtheta é ímpar em relação a , ou seja, . Portanto, a integral dessa função de a será zero.
Ficamos apenas com:

Passo 9

Lembrando que a integral original i integral-pi^pi e^kcostheta cos(k sintheta) , dtheta = 2pi i , igualamos:
integral-pi^pi e^kcostheta cos(k sintheta) , dtheta = 2pi
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Perceba que a função integral-pi^pi e^kcostheta cos(k sintheta) , dtheta = 2 integral0^pi e^kcostheta cos(k sintheta) , dtheta é par, ou seja, 2 integral0^pi e^kcostheta cos(k sintheta) , dtheta = 2pi . Então, podemos escrever:
integral0^pi e^kcostheta cos(k sintheta) , dtheta = pi
Igualando a :
Dividindo por 2 ambos os lados:

Resposta

A integral vale integral0^pi e^k cos theta cos(k sin theta) , dtheta = pi e, em termos de , temos:

Exercícios relacionados