Seja o círculo unitário , com orientação anti-horária e uma constante real qualquer. Mostre que
A seguir, escreva a integral em termos de para deduzir a fórmula
Sugestão: Defina a função e aplique a fórmula integral de Cauchy com .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem um círculo unitário definido por com , e uma constante real . A primeira parte pede para mostrar que:
Depois, temos que escrever essa integral em termos de para chegar na fórmula:
Para resolver isso, vamos usar conceitos de integração no plano complexo, especificamente a Fórmula Integral de Cauchy. Não se preocupe se esses termos parecerem complicados no começo, vamos ir passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos focar na primeira integral:
Aqui, é nosso círculo unitário, e estamos integrando a função ao longo desse círculo. A Fórmula de Cauchy nos ajuda a resolver integrais desse tipo, especialmente quando a função tem um ponto singular dentro do contorno de integração.

Passo 3

A Fórmula Integral de Cauchy diz que, se tivermos uma função analítica dentro e sobre uma curva fechada , exceto em um ponto dentro de , então:
No nosso caso, podemos definir e . Como está dentro do nosso círculo , podemos aplicar a fórmula diretamente.

Passo 4

Aplicando a Fórmula de Cauchy com e :
Então, mostramos que a integral é igual a .

Passo 5

Agora vamos para a segunda parte do exercício. Queremos escrever a integral em termos de . Sabemos que , então podemos substituir isso na integral.
Primeiro, vamos expressar em termos de :
Substituindo e na integral original:

Passo 6

Vamos simplificar . Sabemos que , então:
Substituindo de volta na integral:

Passo 7

Vamos separar a parte real e a imaginária da integral:
Como , temos:

Passo 8

Observamos que a função é ímpar em relação a , ou seja, . Portanto, a integral dessa função de a será zero.
Ficamos apenas com:

Passo 9

Lembrando que a integral original , igualamos:
Dividindo ambos os lados por :

Passo 10

Perceba que a função é par, ou seja, . Então, podemos escrever:
Igualando a :
Dividindo por 2 ambos os lados:

Resposta

A integral vale e, em termos de , temos:

Exercícios relacionados

Considere duas partículas e viajando segundo as trajetórias: e . As partículas colidem? Onde? Qual instante?
Nos itens 1 a 3, mostre que ( e serão especificados).
e é o contorno do quadrado de vértices .
Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
.
Utilize a fórmula integral de Cauchy para resolver as integrais do itens 1, 2 e 3.
, onde é o quadrado de vértices e .