Mostre que uma transformação de Lorentz preserva a antissimetria de um tensor, i.e., se B^mu nu é antissimétrico, então tildeB^mu nu transformado também será antissimétrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que uma transformação de Lorentz mantém a antissimetria de um tensor. Ou seja, se é antissimétrico, então após aplicar a transformação de Lorentz, o tensor transformado também será antissimétrico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação de Lorentz e o que significa um tensor ser antissimétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação de Lorentz. É uma transformação linear que relaciona as coordenadas de um evento em um referencial para outro, mantendo o intervalo espaço-tempo inalterado. Matematicamente, podemos representar a transformação de Lorentz por uma matriz tildex^mu = Lambda^mu nu x^nu , de modo que as coordenadas transformadas são dadas por:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre tensor antissimétrico. Um tensor B^mu nu = -B^nu mu é antissimétrico se ele satisfaz a condição:
Isso significa que trocar os índices do tensor muda o sinal do tensor.

Passo 4

Para ver como o tensor se transforma, usamos a regra de transformação para tensores de segunda ordem:
tildeB^mu nu = Lambda^mu rho Lambda^nu sigma B^rho sigma
Queremos mostrar que tildeB^mu nu = -tildeB^nu mu também é antissimétrico, ou seja, que:

Passo 5

Vamos aplicar a condição de antissimetria ao tensor transformado:
tildeB^nu mu = Lambda^nu rho Lambda^mu sigma B^rho sigma
Usando a antissimetria de B^rho sigma = -B^sigma rho , temos:
tildeB^nu mu = Lambda^nu rho Lambda^mu sigma (-B^sigma rho) = -Lambda^mu sigma Lambda^nu rho B^sigma rho
Substituindo isso na expressão de tildeB^nu mu = -Lambda^mu rho Lambda^nu sigma B^rho sigma = -tildeB^mu nu :
Note que trocamos os índices de e , que são somáveis, então:

Resposta

Assim, mostramos que , ou seja, a transformação de Lorentz preserva a antissimetria do tensor. Portanto, se é antissimétrico, então também será antissimétrico após a transformação.

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