Mostre que uma transformação de Lorentz preserva a antissimetria de um tensor, i.e., se é antissimétrico, então transformado também será antissimétrico.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que uma transformação de Lorentz mantém a antissimetria de um tensor. Ou seja, se é antissimétrico, então após aplicar a transformação de Lorentz, o tensor transformado também será antissimétrico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação de Lorentz e o que significa um tensor ser antissimétrico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação de Lorentz. É uma transformação linear que relaciona as coordenadas de um evento em um referencial para outro, mantendo o intervalo espaço-tempo inalterado. Matematicamente, podemos representar a transformação de Lorentz por uma matriz , de modo que as coordenadas transformadas são dadas por:

Passo 3

Agora, vamos falar sobre tensor antissimétrico. Um tensor é antissimétrico se ele satisfaz a condição:
Isso significa que trocar os índices do tensor muda o sinal do tensor.

Passo 4

Para ver como o tensor se transforma, usamos a regra de transformação para tensores de segunda ordem:
Queremos mostrar que também é antissimétrico, ou seja, que:

Passo 5

Vamos aplicar a condição de antissimetria ao tensor transformado:
Usando a antissimetria de , temos:
Substituindo isso na expressão de :
Note que trocamos os índices de e , que são somáveis, então:

Resposta

Assim, mostramos que , ou seja, a transformação de Lorentz preserva a antissimetria do tensor. Portanto, se é antissimétrico, então também será antissimétrico após a transformação.

Exercícios relacionados

Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano e em repouso para um certo referencial . A placa inferior (menor valor de ) tem uma densidade de carga e a superior uma densidade de carga .
Usando as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos entre as placas para observadores em .
Uma esfera isolante maciça possui uma densidade de cargas uniforme p. Uma cavidade esférica é produzida nesta esfera. Mostre que o vetor campo elétrico em do interior de cavidade é dado por onde a é o vetor que liga o centro da circunferência com o centro da cavidade.
Considere um observador para o qual duas cargas iguais se movem paralelamente (i.e., uma do lado da outra com a mesma velocidade).
Considerando a visão de cada um dos observadores, as cargas irão se afastar, ou se aproximar?
Considere duas placas infinitas, paralelas ao plano e em repouso para um certo referencial . A placa inferior (menor valor de ) tem uma densidade de carga e a superior uma densidade de carga .
Considere agora um referencial que se move com velocidade com relação a . Usando os efeitos da contração espacial e dilatação temporal, determine as densidades de cargas e correntes para observadores em . Em seguida, usando novamente as leis de Gauss e Ampère, determine os campos elétricos e magnéticos em . Compare seu resultado com a lei de transformação dos campos.