Mostre que uma transformação de Lorentz preserva a antissimetria de um tensor, i.e., se
é antissimétrico, então
transformado também será antissimétrico.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para mostrar que uma transformação de Lorentz mantém a antissimetria de um tensor. Ou seja, se
é antissimétrico, então após aplicar a transformação de Lorentz, o tensor transformado
também será antissimétrico. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é uma transformação de Lorentz e o que significa um tensor ser antissimétrico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma transformação de Lorentz. É uma transformação linear que relaciona as coordenadas de um evento em um referencial para outro, mantendo o intervalo espaço-tempo inalterado. Matematicamente, podemos representar a transformação de Lorentz por uma matriz
, de modo que as coordenadas transformadas
são dadas por:
Passo 3
Agora, vamos falar sobre tensor antissimétrico. Um tensor
é antissimétrico se ele satisfaz a condição:
Isso significa que trocar os índices do tensor muda o sinal do tensor.
Passo 4
Para ver como o tensor se transforma, usamos a regra de transformação para tensores de segunda ordem:
Queremos mostrar que
também é antissimétrico, ou seja, que:
Passo 5
Vamos aplicar a condição de antissimetria ao tensor transformado:
Usando a antissimetria de
, temos:
Substituindo isso na expressão de
:
Note que trocamos os índices de
e
, que são somáveis, então:
Resposta
Assim, mostramos que
, ou seja, a transformação de Lorentz preserva a antissimetria do tensor. Portanto, se
é antissimétrico, então
também será antissimétrico após a transformação.