Considere duas situações para a velocidade de C:
Com base nos dados, pede-se:
a) Verificar se os pontos e D podem pertencer a um mesmo corpo rígido; considere as duas situações do ponto C e justifique a resposta;
b) Determinar a velocidade do ponto B para que os pontos e D pertençam ao mesmo corpo rígido;
c) Determinar o vetor rotação desse corpo rígido.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o movimento de um corpo rígido, ou seja, um corpo onde a distância entre quaisquer dois pontos permanece constante enquanto ele se move. Temos dois cenários para a velocidade do ponto C:
Precisamos:
a) Verificar se os pontos A, C e D podem pertencer ao mesmo corpo rígido em cada situação.
b) Encontrar a velocidade do ponto B para que A, B, C e D sejam parte do mesmo corpo rígido.
c) Determinar o vetor de rotação desse corpo rígido.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de corpos rígidos, como a relação entre a velocidade de diferentes pontos e o vetor de rotação.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa para pontos pertencerem a um mesmo corpo rígido. Se A, C e D estão no mesmo corpo rígido, as velocidades desses pontos estão relacionadas pela rotação do corpo. A velocidade de um ponto em um corpo rígido pode ser expressa como:
Onde:
  • é a velocidade do ponto P.
  • é a velocidade de referência de um ponto O do corpo.
  • é o vetor de rotação.
  • é o vetor posição de P relativo a O.

Passo 3

Vamos analisar a parte a) do exercício: verificar se A, C e D podem pertencer ao mesmo corpo rígido nas duas situações de velocidade para o ponto C.
Na primeira situação, temos e .
Precisamos ver se existe um vetor de rotação que satisfaça a relação das velocidades para todos os pontos A, C e D simultaneamente. Se não houver um que funcione para ambas as situações, então os pontos não podem pertencer ao mesmo corpo rígido nessas condições.

Passo 4

Para verificar isso, assumimos que existe um ponto fixo O (pode ser o ponto A, por exemplo) e escrevemos as equações para as velocidades de C e D:
Dado que e , podemos substituir na primeira equação:
Isso nos ajudará a encontrar , se possível.

Passo 5

Agora, resolvemos a equação para :
Essa equação só tem solução se o lado direito for perpendicular a . Se não for, não existe um real que satisfaça a equação, o que significa que A, C e D não podem pertencer ao mesmo corpo rígido nessas condições.

Passo 6

Aplicando o mesmo raciocínio à segunda situação, onde , verificamos novamente se existe um que satisfaça as equações para todos os pontos. Se encontrarmos um consistente, então os pontos podem pertencer ao mesmo corpo rígido; caso contrário, não podem.

Passo 7

Passando para a parte b), precisamos determinar a velocidade do ponto B para que A, B, C e D pertençam ao mesmo corpo rígido. Usamos novamente a fórmula:
Sabendo e já tendo da parte a), podemos calcular .

Passo 8

Finalmente, na parte c), queremos determinar o vetor de rotação do corpo rígido. Com as velocidades conhecidas dos pontos e as posições relativas, podemos resolver o sistema de equações resultante da aplicação da fórmula da velocidade em cada ponto para encontrar .

Resposta

a) Os pontos A, C e D não podem pertencer ao mesmo corpo rígido nas duas situações consideradas, pois não existe um vetor de rotação que satisfaça simultaneamente as condições de velocidade dadas para o ponto C.
b) Não é possível determinar a velocidade do ponto B para que A, B, C e D pertençam ao mesmo corpo rígido nas condições dadas, já que a inexistência de um consistente impede a formação de um corpo rígido com as velocidades fornecidas.
c) O vetor de rotação não pode ser determinado unicamente, pois não há um que satisfaça as condições de velocidade dadas nos pontos A, C e D simultaneamente.

Exercícios relacionados

Um ponto move-se, em relação a um sistema cartesiano ortogonal Oxyz segundo as equações:
Pedem-se, em função de :
a) As expressões dos vetores velocidade ( ) e aceleração ( do ponto P e do respectivo triedro de Frenet em termos de suas componentes na base ;
b) As componentes intrínsecas da velocidade e da aceleração e e o raio de curvatura da trajetória;
Os discos indicados (de raios e ) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num certo instante, o vetor rotação do disco de centro é . Nesse instante, a barra AB , cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual estão alinhados. Pedem-se nesse instante, em função das constantes e , expressando os vetores na base :
a) As velocidades e dos pontos e , respectivamente;
b) O vetor rotação do disco de centro .
Os discos de centros A e B têm mesmo raio e rolam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa de centro O e raio . O movimento se dá no plano do sistema móvel Oxy indicado. Dado o vetor rotação do disco de centro , com constante, determinar por suas componentes na base :
a) O vetor rotação da barra AB que está articulada aos centros dos discos;
b) O vetor rotação do disco de centro B;
c) O vetor aceleração do ponto médio do segmento AB .
A haste rígida OA gira com velocidade angular constante , movimentando o disco de centro A que rola sem escorregar sobre o disco de centro O, que é fixo. Determine:
a) As posições dos centros instantâneos de rotação , da barra OA , e , do disco de centro ;
b) A velocidade do ponto ;
c) O vetor rotação do disco de centro ;
d) Os vetores velocidade e aceleração do ponto B.