Considere duas situações para a velocidade de C:
Com base nos dados, pede-se:
a) Verificar se os pontos
e D podem pertencer a um mesmo corpo rígido; considere as duas situações do ponto C e justifique a resposta;
b) Determinar a velocidade do ponto B para que os pontos
e D pertençam ao mesmo corpo rígido;
c) Determinar o vetor rotação
desse corpo rígido.
a) Verificar se os pontos
b) Determinar a velocidade do ponto B para que os pontos
c) Determinar o vetor rotação
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente analisar o movimento de um corpo rígido, ou seja, um corpo onde a distância entre quaisquer dois pontos permanece constante enquanto ele se move. Temos dois cenários para a velocidade do ponto C:
Precisamos:
a) Verificar se os pontos A, C e D podem pertencer ao mesmo corpo rígido em cada situação.
b) Encontrar a velocidade do ponto B para que A, B, C e D sejam parte do mesmo corpo rígido.
c) Determinar o vetor de rotação
desse corpo rígido.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cinemática de corpos rígidos, como a relação entre a velocidade de diferentes pontos e o vetor de rotação.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa para pontos pertencerem a um mesmo corpo rígido. Se A, C e D estão no mesmo corpo rígido, as velocidades desses pontos estão relacionadas pela rotação do corpo. A velocidade de um ponto em um corpo rígido pode ser expressa como:
Onde:
-
é a velocidade do ponto P. -
é a velocidade de referência de um ponto O do corpo. -
é o vetor de rotação. -
é o vetor posição de P relativo a O.
Passo 3
Vamos analisar a parte a) do exercício: verificar se A, C e D podem pertencer ao mesmo corpo rígido nas duas situações de velocidade para o ponto C.
Na primeira situação, temos
e
.
Precisamos ver se existe um vetor de rotação
que satisfaça a relação das velocidades para todos os pontos A, C e D simultaneamente. Se não houver um
que funcione para ambas as situações, então os pontos não podem pertencer ao mesmo corpo rígido nessas condições.
Passo 4
Para verificar isso, assumimos que existe um ponto fixo O (pode ser o ponto A, por exemplo) e escrevemos as equações para as velocidades de C e D:
Dado que
e
, podemos substituir na primeira equação:
Isso nos ajudará a encontrar
, se possível.
Passo 5
Agora, resolvemos a equação para
:
Essa equação só tem solução se o lado direito for perpendicular a
. Se não for, não existe um
real que satisfaça a equação, o que significa que A, C e D não podem pertencer ao mesmo corpo rígido nessas condições.
Passo 6
Aplicando o mesmo raciocínio à segunda situação, onde
, verificamos novamente se existe um
que satisfaça as equações para todos os pontos. Se encontrarmos um
consistente, então os pontos podem pertencer ao mesmo corpo rígido; caso contrário, não podem.
Passo 7
Passando para a parte b), precisamos determinar a velocidade do ponto B para que A, B, C e D pertençam ao mesmo corpo rígido. Usamos novamente a fórmula:
Sabendo
e já tendo
da parte a), podemos calcular
.
Passo 8
Finalmente, na parte c), queremos determinar o vetor de rotação
do corpo rígido. Com as velocidades conhecidas dos pontos e as posições relativas, podemos resolver o sistema de equações resultante da aplicação da fórmula da velocidade em cada ponto para encontrar
.
Resposta
a) Os pontos A, C e D não podem pertencer ao mesmo corpo rígido nas duas situações consideradas, pois não existe um vetor de rotação
que satisfaça simultaneamente as condições de velocidade dadas para o ponto C.
b) Não é possível determinar a velocidade do ponto B para que A, B, C e D pertençam ao mesmo corpo rígido nas condições dadas, já que a inexistência de um
consistente impede a formação de um corpo rígido com as velocidades fornecidas.
c) O vetor de rotação
não pode ser determinado unicamente, pois não há um
que satisfaça as condições de velocidade dadas nos pontos A, C e D simultaneamente.
Exercícios relacionados
Um ponto
move-se, em relação a um sistema cartesiano ortogonal Oxyz segundo as equações:
Pedem-se, em função de
:
a) As expressões dos vetores velocidade ( ) e aceleração (
do ponto P e do respectivo triedro de Frenet
em termos de suas componentes na base
;
b) As componentes intrínsecas da velocidade e da aceleração
e
e o raio de curvatura
da trajetória;
a) As expressões dos vetores velocidade (
b) As componentes intrínsecas da velocidade
Os discos indicados (de raios
e
) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num certo instante, o vetor rotação do disco de centro
é
. Nesse instante, a barra AB , cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual
estão alinhados. Pedem-se nesse instante, em função das constantes
e
, expressando os vetores na base
:
a) As velocidades e
dos pontos
e
, respectivamente;
b) O vetor rotação do disco de centro
.
a) As velocidades
b) O vetor rotação
Os discos de centros A e B têm mesmo raio
e rolam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa de centro O e raio
. O movimento se dá no plano do sistema móvel Oxy indicado. Dado o vetor rotação do disco de centro
, com
constante, determinar por suas componentes na base
:
a) O vetor rotação da barra AB que está articulada aos centros dos discos;
b) O vetor rotação do disco de centro B;
c) O vetor aceleração do ponto médio
do segmento AB .
a) O vetor rotação
b) O vetor rotação
c) O vetor aceleração
A haste rígida OA gira com velocidade angular constante
, movimentando o disco de centro A que rola sem escorregar sobre o disco de centro O, que é fixo. Determine:
a) As posições dos centros instantâneos de rotação , da barra OA , e
, do disco de centro
;
b) A velocidade do ponto
;
c) O vetor rotação do disco de centro
;
d) Os vetores velocidade e aceleração
do ponto B.
a) As posições dos centros instantâneos de rotação
b) A velocidade
c) O vetor rotação
d) Os vetores velocidade