Um ponto move-se, em relação a um sistema cartesiano ortogonal Oxyz segundo as equações:
Pedem-se, em função de :
a) As expressões dos vetores velocidade ( ) e aceleração ( do ponto P e do respectivo triedro de Frenet em termos de suas componentes na base ;
b) As componentes intrínsecas da velocidade e da aceleração e e o raio de curvatura da trajetória;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um ponto que se move no espaço tridimensional seguindo as equações paramétricas:
A gente precisa encontrar, em função de :
a) As expressões dos vetores velocidade ( ) e aceleração ( ) do ponto , além do triedro de Frenet ( ) nas suas componentes na base .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e o conceito de triedro de Frenet, que envolve tangente, normal e binormal ao trajeto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição do ponto :

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor velocidade , a gente deriva o vetor posição em relação ao tempo :
Derivando cada componente:

Passo 4

Da mesma forma, para encontrar o vetor aceleração , a gente deriva o vetor velocidade:
Derivando cada componente:

Passo 5

Agora, vamos construir o triedro de Frenet, que consiste nos vetores tangente ( ), normal ( ) e binormal ( ).
Primeiro, o vetor tangente é o vetor velocidade normalizado:
Calculando o módulo de :
Então,

Passo 6

O vetor normal é a derivada do vetor tangente em relação a , normalizada:
Após derivar e normalizar, obtemos .

Passo 7

O vetor binormal é o produto vetorial entre e :
Esse vetor é perpendicular tanto à tangente quanto à normal, completando o triedro de Frenet.

Resposta

Resumindo, em função de :
a) Os vetores velocidade e aceleração são:
O triedro de Frenet nas suas componentes é dado por:

Exercícios relacionados

Os discos indicados (de raios e ) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num certo instante, o vetor rotação do disco de centro é . Nesse instante, a barra AB , cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual estão alinhados. Pedem-se nesse instante, em função das constantes e , expressando os vetores na base :
a) As velocidades e dos pontos e , respectivamente;
b) O vetor rotação do disco de centro .
O movimento de um ponto é descrito pelas três equações escalares de um sistema cartesiano ortogonal Oxyz:
Pedem-se:
a) Os vetores velocidade e aceleração , as componentes intrínsecas da velocidade (v) e da aceleração e o raio de curvatura da trajetória;
b) Mostrar que o movimento é plano.
Considere duas situações para a velocidade de C:
Com base nos dados, pede-se:
a) Verificar se os pontos e D podem pertencer a um mesmo corpo rígido; considere as duas situações do ponto C e justifique a resposta;
b) Determinar a velocidade do ponto B para que os pontos e D pertençam ao mesmo corpo rígido;
c) Determinar o vetor rotação desse corpo rígido.
Os discos de centros A e B têm mesmo raio e rolam sem escorregar, externa e internamente à circunferência fixa de centro O e raio . O movimento se dá no plano do sistema móvel Oxy indicado. Dado o vetor rotação do disco de centro , com constante, determinar por suas componentes na base :
a) O vetor rotação da barra AB que está articulada aos centros dos discos;
b) O vetor rotação do disco de centro B;
c) O vetor aceleração do ponto médio do segmento AB .