Um ponto
move-se, em relação a um sistema cartesiano ortogonal Oxyz segundo as equações:
Pedem-se, em função de
:
a) As expressões dos vetores velocidade (
) e aceleração (
do ponto P e do respectivo triedro de Frenet
em termos de suas componentes na base
;
b) As componentes intrínsecas da velocidade
e da aceleração
e
e o raio de curvatura
da trajetória;
a) As expressões dos vetores velocidade (
b) As componentes intrínsecas da velocidade
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um ponto
que se move no espaço tridimensional seguindo as equações paramétricas:
A gente precisa encontrar, em função de
:
a) As expressões dos vetores velocidade (
) e aceleração (
) do ponto
, além do triedro de Frenet (
) nas suas componentes na base
.
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e o conceito de triedro de Frenet, que envolve tangente, normal e binormal ao trajeto.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor posição
do ponto
:
Passo 3
Agora, para encontrar o vetor velocidade
, a gente deriva o vetor posição em relação ao tempo
:
Derivando cada componente:
Passo 4
Da mesma forma, para encontrar o vetor aceleração
, a gente deriva o vetor velocidade:
Derivando cada componente:
Passo 5
Agora, vamos construir o triedro de Frenet, que consiste nos vetores tangente (
), normal (
) e binormal (
).
Primeiro, o vetor tangente
é o vetor velocidade normalizado:
Calculando o módulo de
:
Então,
Passo 6
O vetor normal
é a derivada do vetor tangente em relação a
, normalizada:
Após derivar e normalizar, obtemos
.
Passo 7
O vetor binormal
é o produto vetorial entre
e
:
Esse vetor é perpendicular tanto à tangente quanto à normal, completando o triedro de Frenet.
Resposta
Resumindo, em função de
:
a) Os vetores velocidade e aceleração são:
O triedro de Frenet nas suas componentes é dado por: