Um ponto P move-se, em relação a um sistema cartesiano ortogonal Oxyz segundo as equações:
x=13 t^3 y=raiz22 t^2 z=t
Pedem-se, em função de t :
a) As expressões dos vetores velocidade ( v ) e aceleração ( a) do ponto P e do respectivo triedro de Frenet (t, n, b) em termos de suas componentes na base (i, j, k);
b) As componentes intrínsecas da velocidade (v) e da aceleração (at e an) e o raio de curvatura rho da trajetória;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O problema fala sobre um ponto x = 13 t^3, y = raiz22 t^2, z = t que se move no espaço tridimensional seguindo as equações paramétricas:
A gente precisa encontrar, em função de :
a) As expressões dos vetores velocidade ( ) e aceleração ( ) do ponto , além do triedro de Frenet ( ) nas suas componentes na base .
Para resolver isso, vamos usar conceitos de cálculo vetorial, como derivadas de vetores e o conceito de triedro de Frenet, que envolve tangente, normal e binormal ao trajeto.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar o vetor posição r(t) = x(t), i + y(t), j + z(t), k = 13 t^3, i + raiz22 t^2, j + t, k do ponto :

Passo 3

Agora, para encontrar o vetor velocidade v(t) = drdt = ddt( 13 t^3 )i + ddt( raiz22 t^2 )j + ddt(t)k , a gente deriva o vetor posição em relação ao tempo v(t) = t^2, i + raiz2 t, j + k :
Derivando cada componente:

Passo 4

Da mesma forma, para encontrar o vetor aceleração a(t) = dvdt = ddt(t^2), i + ddt(raiz2 t), j + ddt(1), k , a gente deriva o vetor velocidade:
a(t) = 2t, i + raiz2, j + 0, k = 2t, i + raiz2, j
Derivando cada componente:

Passo 5

Agora, vamos construir o triedro de Frenet, que consiste nos vetores tangente ( t = v(t)|v(t)| ), normal ( |v(t)| = raizt^4 + 2 t^2 + 1 = raiz(t^2 + 1)^2 = t^2 + 1 ) e binormal ( t = t^2, i + raiz2 t, j + kt^2 + 1 ).
Primeiro, o vetor tangente é o vetor velocidade normalizado:
Calculando o módulo de :
Então,

Passo 6

O vetor normal dtdt = derivar cada componente de t é a derivada do vetor tangente em relação a , normalizada:
Após derivar e normalizar, obtemos .

Passo 7

O vetor binormal b = t times n é o produto vetorial entre e :
Esse vetor é perpendicular tanto à tangente quanto à normal, completando o triedro de Frenet.

Resposta

Resumindo, em função de v(t) = t^2, i + raiz2 t, j + k :
a) Os vetores velocidade e aceleração são:
a(t) = 2t, i + raiz2, j
t = t^2, i + raiz2 t, j + kt^2 + 1, n = (derivada de t normalizada), b = t times n
O triedro de Frenet nas suas componentes é dado por:

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