Os discos indicados (de raios R e r ) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num certo instante, o vetor rotação do disco de centro O1 é omega1=omega k,(omega>0). Nesse instante, a barra AB , cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual A, Be O2 estão alinhados. Pedem-se nesse instante, em função das constantes R, r e omega, expressando os vetores na base (i, j, k) :
a) As velocidades vA e vB dos pontos A e B, respectivamente;
b) O vetor rotação omega2 do disco de centro O2.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolver.
Enunciado Resumido:
Temos dois discos com raios e que estão rolando sem escorregar sobre uma superfície horizontal fixa. Num determinado instante, o disco com centro está girando com velocidade angular (onde ). Nesse mesmo instante, a barra AB conecta pontos nas periferias dos discos e está alinhada de forma que os pontos A, B e estão numa linha reta.
O que é pedido:
a) Determinar as velocidades dos pontos A e B ( e ) em função de , e .
b) Determinar o vetor velocidade angular ( ) do disco com centro .
Conteúdos da Matéria e Ferramentas Necessárias:
  • Cinemática de corpos rígidos.
  • Movimento de rotação sem escorregamento.
  • Relações entre velocidade linear e velocidade angular.
  • Sistemas de referência e vetores.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento de rotação sem escorregamento. Quando um disco rola sem escorregar sobre uma superfície, há uma relação direta entre sua velocidade linear ( v = omega times r ) e sua velocidade angular ( ).
A fórmula que relaciona essas grandezas é:
onde é o vetor posição do ponto em relação ao centro do disco.
No nosso caso, sabemos que o disco tem uma velocidade angular . Precisamos usar essa relação para encontrar as velocidades dos pontos A e B.

Passo 3

Vamos começar encontrando a velocidade do ponto A ( vA = omega1 times rA/O1 ) no disco rA/O1 = -R i .
Sabemos que:
  • O ponto A está na periferia do disco vA = omega k times (-R i) = omega R (k times -i) = omega R j , então a distância de A a vA = omega R j é .
  • A velocidade angular do disco é .
Usando a relação :
Onde é o vetor que vai de até A. Como a barra AB está alinhada na direção horizontal e , , estão alinhados, podemos considerar que está na direção (considerando o eixo na horizontal).
Então:
Agora, calculando o produto vetorial:
Então:

Passo 4

Agora, vamos determinar a velocidade do ponto B ( vO2 = -Rr vO1 ).
Sabemos que o ponto B está na periferia do disco vO2 = -Rr omega R = -omega R^2r e que a barra AB conecta A a B, que são pontos nas periferias dos discos.
Para encontrar vO2 = -omega R^2r j , precisamos considerar:
  • A velocidade do centro .
  • A velocidade angular do disco .
  • A relação de rolamento sem escorregamento para o disco .
Primeiro, vamos relacionar a velocidade do centro com a velocidade angular do disco .
Quando dois discos rolam sem escorregar e estão conectados por uma barra rígida, as velocidades dos centros estão relacionadas pela razão dos raios e pelas velocidades angulares.
A relação é:
Sabemos que (porque ), então:
Portanto, a velocidade do centro é:

Passo 5

Com a velocidade do centro rB/O2 = r i conhecida, podemos agora determinar a velocidade do ponto B ( vB = omega2 times rB/O2 ) no disco vB = vO2 + omega2 times rB/O2 .
Usamos novamente a relação vB = -omega R^2r j + omega2 times r i , onde agora 0 = -omega R^2r j + omega2 times r i é a velocidade angular do disco e é o vetor posição do ponto B em relação a .
Assumindo que a barra AB está alinhada horizontalmente, e sabendo que B está na periferia do disco , temos:
Então:
Mas também sabemos que a barra AB é rígida, então a velocidade de B ( ) deve ser igual à velocidade do centro mais a contribuição devido à rotação do disco :
Substituindo e :
Para que a barra AB não se estique, a velocidade de B deve ser zero (já que a barra AB está alinhada e os pontos A, B, estão alinhados). Assim:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar omega2 times r i = omega R^2r j .
Temos:
omega2 times i = omega R^2r^2 j
Dividindo ambos os lados por omega2 k times i = omega R^2r^2 j :
k times i = j
Sabemos que omega2 j = omega R^2r^2 j está na direção omega2 = omega R^2r^2 , ou seja, . Vamos substituir:
Calculando o produto vetorial:
Então:
Comparando os coeficientes de :

Resposta

a) As velocidades dos pontos A e B são:
vA = omega R j e vB = 0
b) O vetor velocidade angular do disco de centro omega2 = omega R^2r^2 k é:

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