Os discos indicados (de raios e ) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num certo instante, o vetor rotação do disco de centro é . Nesse instante, a barra AB , cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual estão alinhados. Pedem-se nesse instante, em função das constantes e , expressando os vetores na base :
a) As velocidades e dos pontos e , respectivamente;
b) O vetor rotação do disco de centro .

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolver.
Enunciado Resumido:
Temos dois discos com raios e que estão rolando sem escorregar sobre uma superfície horizontal fixa. Num determinado instante, o disco com centro está girando com velocidade angular (onde ). Nesse mesmo instante, a barra AB conecta pontos nas periferias dos discos e está alinhada de forma que os pontos A, B e estão numa linha reta.
O que é pedido:
a) Determinar as velocidades dos pontos A e B ( e ) em função de , e .
b) Determinar o vetor velocidade angular ( ) do disco com centro .
Conteúdos da Matéria e Ferramentas Necessárias:
  • Cinemática de corpos rígidos.
  • Movimento de rotação sem escorregamento.
  • Relações entre velocidade linear e velocidade angular.
  • Sistemas de referência e vetores.
Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o movimento de rotação sem escorregamento. Quando um disco rola sem escorregar sobre uma superfície, há uma relação direta entre sua velocidade linear ( ) e sua velocidade angular ( ).
A fórmula que relaciona essas grandezas é:
onde é o vetor posição do ponto em relação ao centro do disco.
No nosso caso, sabemos que o disco tem uma velocidade angular . Precisamos usar essa relação para encontrar as velocidades dos pontos A e B.

Passo 3

Vamos começar encontrando a velocidade do ponto A ( ) no disco .
Sabemos que:
  • O ponto A está na periferia do disco , então a distância de A a é .
  • A velocidade angular do disco é .
Usando a relação :
Onde é o vetor que vai de até A. Como a barra AB está alinhada na direção horizontal e , , estão alinhados, podemos considerar que está na direção (considerando o eixo na horizontal).
Então:
Agora, calculando o produto vetorial:
Então:

Passo 4

Agora, vamos determinar a velocidade do ponto B ( ).
Sabemos que o ponto B está na periferia do disco e que a barra AB conecta A a B, que são pontos nas periferias dos discos.
Para encontrar , precisamos considerar:
  • A velocidade do centro .
  • A velocidade angular do disco .
  • A relação de rolamento sem escorregamento para o disco .
Primeiro, vamos relacionar a velocidade do centro com a velocidade angular do disco .
Quando dois discos rolam sem escorregar e estão conectados por uma barra rígida, as velocidades dos centros estão relacionadas pela razão dos raios e pelas velocidades angulares.
A relação é:
Sabemos que (porque ), então:
Portanto, a velocidade do centro é:

Passo 5

Com a velocidade do centro conhecida, podemos agora determinar a velocidade do ponto B ( ) no disco .
Usamos novamente a relação , onde agora é a velocidade angular do disco e é o vetor posição do ponto B em relação a .
Assumindo que a barra AB está alinhada horizontalmente, e sabendo que B está na periferia do disco , temos:
Então:
Mas também sabemos que a barra AB é rígida, então a velocidade de B ( ) deve ser igual à velocidade do centro mais a contribuição devido à rotação do disco :
Substituindo e :
Para que a barra AB não se estique, a velocidade de B deve ser zero (já que a barra AB está alinhada e os pontos A, B, estão alinhados). Assim:

Passo 6

Agora, vamos resolver a equação para encontrar .
Temos:
Dividindo ambos os lados por :
Sabemos que está na direção , ou seja, . Vamos substituir:
Calculando o produto vetorial:
Então:
Comparando os coeficientes de :

Resposta

a) As velocidades dos pontos A e B são:
b) O vetor velocidade angular do disco de centro é:

Exercícios relacionados

O movimento de um ponto é descrito pelas três equações escalares de um sistema cartesiano ortogonal Oxyz:
Pedem-se:
a) Os vetores velocidade e aceleração , as componentes intrínsecas da velocidade (v) e da aceleração e o raio de curvatura da trajetória;
b) Mostrar que o movimento é plano.
O mecanismo plano de quatro barras é constituído por barras com dimensões: . As barras estão articuladas em conforme a figura. O disco de raio e centro G rola sem escorregar sobre a barra BC com velocidade angular constante . O ângulo entre as barras AB e AD segue a lei horária , para constante. No instante mostrado na figura, o ponto E de contato está situado na metade da barra e o ponto está na periferia do disco e na vertical definida pelos pontos E e G. Para este instante, usando a base fornecida, pedem-se:
a) A velocidade do ponto E ;
b) A velocidade do ponto ;
c) A aceleração do ponto E pertencente ao disco.
No instante em que , determine:
d) O vetor posição ( ) do centro instantâneo de rotação I do disco.
Um ponto move-se, em relação a um sistema cartesiano ortogonal Oxyz segundo as equações:
Pedem-se, em função de :
a) As expressões dos vetores velocidade ( ) e aceleração ( do ponto P e do respectivo triedro de Frenet em termos de suas componentes na base ;
b) As componentes intrínsecas da velocidade e da aceleração e e o raio de curvatura da trajetória;
Considere duas situações para a velocidade de C:
Com base nos dados, pede-se:
a) Verificar se os pontos e D podem pertencer a um mesmo corpo rígido; considere as duas situações do ponto C e justifique a resposta;
b) Determinar a velocidade do ponto B para que os pontos e D pertençam ao mesmo corpo rígido;
c) Determinar o vetor rotação desse corpo rígido.