Os discos indicados (de raios
e
) movem-se num plano, rolando sem escorregar sobre a horizontal fixa. Num certo instante, o vetor rotação do disco de centro
é
. Nesse instante, a barra AB , cujas extremidades são articuladas a dois pontos na periferia dos discos, ocupa a posição indicada, na qual
estão alinhados. Pedem-se nesse instante, em função das constantes
e
, expressando os vetores na base
:
a) As velocidades
e
dos pontos
e
, respectivamente;
b) O vetor rotação
do disco de centro
.
a) As velocidades
b) O vetor rotação
Passo 1
Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo e identificar o que precisamos saber para resolver.
Enunciado Resumido:
Temos dois discos com raios e
que estão rolando sem escorregar sobre uma superfície horizontal fixa. Num determinado instante, o disco com centro
está girando com velocidade angular
(onde
). Nesse mesmo instante, a barra AB conecta pontos nas periferias dos discos e está alinhada de forma que os pontos A, B e
estão numa linha reta.
Temos dois discos com raios
O que é pedido:
a) Determinar as velocidades dos pontos A e B ( e
) em função de
,
e
.
a) Determinar as velocidades dos pontos A e B (
b) Determinar o vetor velocidade angular (
) do disco com centro
.
Conteúdos da Matéria e Ferramentas Necessárias:
- Cinemática de corpos rígidos.
- Movimento de rotação sem escorregamento.
- Relações entre velocidade linear e velocidade angular.
- Sistemas de referência e vetores.
Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o movimento de rotação sem escorregamento. Quando um disco rola sem escorregar sobre uma superfície, há uma relação direta entre sua velocidade linear (
) e sua velocidade angular (
).
A fórmula que relaciona essas grandezas é:
onde
é o vetor posição do ponto em relação ao centro do disco.
No nosso caso, sabemos que o disco
tem uma velocidade angular
. Precisamos usar essa relação para encontrar as velocidades dos pontos A e B.
Passo 3
Vamos começar encontrando a velocidade do ponto A (
) no disco
.
Sabemos que:
- O ponto A está na periferia do disco
, então a distância de A a é . - A velocidade angular do disco
é .
Usando a relação
:
Onde
é o vetor que vai de
até A. Como a barra AB está alinhada na direção horizontal e
,
,
estão alinhados, podemos considerar que
está na direção
(considerando o eixo
na horizontal).
Então:
Agora, calculando o produto vetorial:
Então:
Passo 4
Agora, vamos determinar a velocidade do ponto B (
).
Sabemos que o ponto B está na periferia do disco
e que a barra AB conecta A a B, que são pontos nas periferias dos discos.
Para encontrar
, precisamos considerar:
- A velocidade do centro
. - A velocidade angular
do disco . - A relação de rolamento sem escorregamento para o disco
.
Primeiro, vamos relacionar a velocidade do centro
com a velocidade angular
do disco
.
Quando dois discos rolam sem escorregar e estão conectados por uma barra rígida, as velocidades dos centros estão relacionadas pela razão dos raios e pelas velocidades angulares.
A relação é:
Sabemos que
(porque
), então:
Portanto, a velocidade do centro
é:
Passo 5
Com a velocidade do centro
conhecida, podemos agora determinar a velocidade do ponto B (
) no disco
.
Usamos novamente a relação
, onde agora
é a velocidade angular do disco
e
é o vetor posição do ponto B em relação a
.
Assumindo que a barra AB está alinhada horizontalmente, e sabendo que B está na periferia do disco
, temos:
Então:
Mas também sabemos que a barra AB é rígida, então a velocidade de B (
) deve ser igual à velocidade do centro
mais a contribuição devido à rotação do disco
:
Substituindo
e
:
Para que a barra AB não se estique, a velocidade de B deve ser zero (já que a barra AB está alinhada e os pontos A, B,
estão alinhados). Assim:
Passo 6
Agora, vamos resolver a equação para encontrar
.
Temos:
Dividindo ambos os lados por
:
Sabemos que
está na direção
, ou seja,
. Vamos substituir:
Calculando o produto vetorial:
Então:
Comparando os coeficientes de
:
Resposta
a) As velocidades dos pontos A e B são:
b) O vetor velocidade angular do disco de centro
é: