Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas transformações lineares no plano: uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por 60 graus, e uma reflexão através do eixo . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa a composição dessas duas transformações, ou seja, . Para isso, vamos precisar saber como são as matrizes de rotação e reflexão, e como multiplicá-las.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como fica a matriz de uma rotação no plano. A matriz de rotação por um ângulo no sentido anti-horário é dada por:
No nosso caso, . Calculando os valores de cosseno e seno:
Portanto, a matriz de rotação fica:
Passo 3
Agora, vamos ver a matriz de reflexão através do eixo . A reflexão em relação ao eixo inverte a coordenada e mantém a inalterada. A matriz correspondente é:
Passo 4
Nossa tarefa é encontrar a matriz , que é o produto das matrizes e . Vamos multiplicar por :
Fazendo a multiplicação de matrizes:
Simplificando cada entrada:
Resposta
A matriz que representa a transformação linear boxed -12 & raiz32 raiz32 & 12 é: