Considere em R^2 duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 60 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) [rr-12 & raiz32 raiz32 & 12]
(B) [rr0 & 0 raiz32 & 12]
© [rr-12 & -raiz32 -raiz32 & 12]
(D) [rr12 & 0 raiz32 & 0]
(E) [rr12 & raiz32 raiz32 & -12]
(F) [rr12 & -raiz32 0 & 0]
(G) [rr0 & -raiz32 0 & 12]
(H)
<img class=(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que o exercício está pedindo. Temos duas transformações lineares no plano: uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por 60 graus, e uma reflexão através do eixo . Nosso objetivo é encontrar a matriz que representa a composição dessas duas transformações, ou seja, . Para isso, vamos precisar saber como são as matrizes de rotação e reflexão, e como multiplicá-las.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como fica a matriz de uma rotação no plano. A matriz de rotação R(theta) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta por um ângulo cos 60^circ = 12, sin 60^circ = raiz32 no sentido anti-horário é dada por:
R = 12 & -raiz32 raiz32 & 12
No nosso caso, . Calculando os valores de cosseno e seno:
Portanto, a matriz de rotação fica:

Passo 3

Agora, vamos ver a matriz de reflexão T = -1 & 0 0 & 1 através do eixo . A reflexão em relação ao eixo inverte a coordenada e mantém a inalterada. A matriz correspondente é:

Passo 4

Nossa tarefa é encontrar a matriz TR = T cdot R = -1 & 0 0 & 1 cdot 12 & -raiz32 raiz32 & 12 , que é o produto das matrizes TR = (-1) cdot 12 + 0 cdot raiz32 & (-1) cdot (-raiz32) + 0 cdot 12 0 cdot 12 + 1 cdot raiz32 & 0 cdot (-raiz32) + 1 cdot 12 e TR = -12 & raiz32 raiz32 & 12 . Vamos multiplicar por :
Fazendo a multiplicação de matrizes:
Simplificando cada entrada:

Resposta

A matriz que representa a transformação linear boxed -12 & raiz32 raiz32 & 12 é:
Isso corresponde à letra A.

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