Sejam beta=b1, b2 uma base de R^2, u=(8,2) e v= (-6,-1). Se as coordenadas na base beta destes vetores são [u]beta=(-2,-4) e [v]beta=(3,4), então b1 é:
(A) [l* 6]
(B) [l* 2]
© [l* 3]
(D) [l* 1]
(E) [l* 7]
(F) [l* 4]
(G) [c* 5]
(H) [l* 8]
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre bases em , que é um conceito de álgebra linear. A gente tem uma base e dois vetores e com suas coordenadas nessa base. Nosso objetivo é descobrir qual é o vetor , mais especificamente a segunda componente dele.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa ter as coordenadas de um vetor em uma base. Se u = -2b1 - 4b2 , isso quer dizer que podemos escrever v = 3b1 + 4b2 como uma combinação linear dos vetores da base:
Similarmente, para :

Passo 3

Sabemos que -2b1 - 4b2 = (8, 2) (1) e 3b1 + 4b2 = (-6, -1) (2) . Vamos substituir essas coordenadas nas equações que montamos:

Passo 4

Vamos representar os vetores b1 = x1 y1 , b2 = x2 y2 e -2x1 - 4x2 = 8 (a) com suas componentes:
-2y1 - 4y2 = 2 (b)
Substituindo nas equa��ões (1) e (2):
Para a equação (1):
3x1 + 4x2 = -6 (c)
3y1 + 4y2 = -1 (d)
Para a equação (2):

Passo 5

Agora, vamos resolver essas equações para encontrar as componentes dos vetores -2x1 - 4x2 + 3x1 + 4x2 = 8 + (-6) e x1 = 2 .
Primeiro, vamos somar as equações (a) e ©:
3(2) + 4x2 = -6
6 + 4x2 = -6
Agora que temos 4x2 = -12 implies x2 = -3 , substituímos na equação ©:

Passo 6

Vamos agora resolver para -2y1 - 4y2 + 3y1 + 4y2 = 2 + (-1) e y1 = 1 . Somando as equações (b) e (d):
3(1) + 4y2 = -1
3 + 4y2 = -1
Substituindo 4y2 = -4 implies y2 = -1 na equação (d):

Passo 7

Agora que encontramos todas as componentes, temos:
b1 = 2 1 , b2 = -3 -1
O enunciado pede especificamente a segunda componente de , que é 1.

Resposta

(D) * 1

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