Seja beta=v1, v2, v3 uma base de R^3 e A uma matriz 3 times 3 tal que
A v1=3 v1, A v2=v1-3 v3 e A v3=v1-4 v3
Se M=[v1 v2 v3], então:
(A) M A=[rrr3 & 0 & 0 1 & 0 & -3 1 & 0 & -4] M
(B) M A=[rrr3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -4] M
© M A=[rrr3 & -3 & 4 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1] M
(D) M A=[rrr3 & 1 & 1 0 & -3 & -4 0 & 0 & 0] M
(E) A M=M[rrr3 & -3 & 4 0 & 0 & 0 0 & 1 & 1]
(F) A M=M[rrr3 & 1 & 1 0 & -3 & -4 0 & 0 & 0]
(G) A M=M[rrr3 & 0 & 0 1 & 0 & -3 1 & 0 & -4]
(H) A M=M[rrr3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -4]
(I) Não sei

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Estamos lidando com uma base do espaço tridimensional e uma matriz de ordem que transforma cada vetor da base de uma maneira específica. Queremos descobrir qual das alternativas (A) a (I) está correta em relação à multiplicação das matrizes e , onde .
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com mudança de base e representação de matrizes em uma base específica. Precisaremos entender como a matriz atua sobre os vetores da base e como isso se relaciona com a matriz .

Passo 2

Entendendo a Matriz A M = M cdot [A]beta :
A matriz é formada pelos vetores da base como colunas. Ou seja, . Essa matriz é usada para mudar a base do espaço vetorial.
Representação da Matriz na Nova Base:
Quando queremos expressar a matriz na base , usamos a seguinte relação:
Aqui, representa a matriz de na base .

Passo 3

Calculando A v1 = 3 v1 A v2 = v1 - 3 v3 A v3 = v1 - 4 v3 :
Vamos multiplicar a matriz A M = [A v1 A v2 A v3] = [3 v1 v1 - 3 v3 v1 - 4 v3] pela matriz A M = M cdot 3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -4 . Para isso, precisamos saber como transforma cada vetor da base:
Essas transformações nos dão as colunas da matriz :
Expressando em Termos de :
Como , podemos escrever:

Resposta

A alternativa correta é a letra D:
M A = 3 & 1 & 1 0 & -3 & -4 0 & 0 & 0 M

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