Resumo do Enunciado:
Estamos lidando com uma base do espaço tridimensional e uma matriz de ordem que transforma cada vetor da base de uma maneira específica. Queremos descobrir qual das alternativas (A) a (I) está correta em relação à multiplicação das matrizes e , onde .
Conteúdo da Matéria:
Vamos trabalhar com mudança de base e representação de matrizes em uma base específica. Precisaremos entender como a matriz atua sobre os vetores da base e como isso se relaciona com a matriz .
Passo 2
Entendendo a Matriz A M = M cdot [A]beta :
A matriz é formada pelos vetores da base como colunas. Ou seja, . Essa matriz é usada para mudar a base do espaço vetorial.
Representação da Matriz na Nova Base:
Quando queremos expressar a matriz na base , usamos a seguinte relação:
Aqui, representa a matriz de na base .
Passo 3
Calculando A v1 = 3 v1 A v2 = v1 - 3 v3 A v3 = v1 - 4 v3 :
Vamos multiplicar a matriz A M = [A v1 A v2 A v3] = [3 v1 v1 - 3 v3 v1 - 4 v3] pela matriz A M = M cdot 3 & 1 & 1 0 & 0 & 0 0 & -3 & -4 . Para isso, precisamos saber como transforma cada vetor da base:
Essas transformações nos dão as colunas da matriz :
Expressando em Termos de :
Como , podemos escrever: