Considere em
duas transformações lineares: Uma rotação
em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 30 graus e uma reflexão
através do eixo
. A matrix que representa a transformação linear
é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Então, a gente tem um exercício de transformações lineares no plano
. A parada é que tem uma rotação de 30 graus anti-horário em torno da origem, que a gente chama de
, e uma reflexão através do eixo
, que é o
. A missão é descobrir qual das matrizes apresentadas representa a transformação composta
, ou seja, primeiro aplicar
e depois
.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar como são as matrizes dessas transformações. Uma rotação no plano por um ângulo
tem a matriz:
Como nosso ângulo é de 30 graus, vamos substituir:
Então, a matriz da rotação
fica:
Passo 3
Agora, vamos para a reflexão
através do eixo
. A reflexão em relação ao eixo
inverte a coordenada
e mantém a coordenada
. A matriz dessa transformação é:
Passo 4
Queremos encontrar a matriz composta
, que significa aplicar
primeiro e depois
. Para isso, multiplicamos as matrizes na ordem
:
Passo 5
Vamos multiplicar as matrizes:
- Primeiro elemento (1,1):
- Primeiro elemento (1,2):
- Segundo elemento (2,1):
- Segundo elemento (2,2):
Então, a matriz
fica:
Resposta
A matriz que representa a transformação linear
é:
Portanto, a opção correta é a alternativa (B).