Considere em R^2 duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 30 graus e uma reflexão T através do eixo y. A matrix que representa a transformação linear T R é:
(A) [rr-raiz32 & 12 12 & raiz32]
(B) [rr-raiz32 & -12 -12 & raiz32]
© [rrraiz32 & -12 -12 & -raiz32]
(D) [rrraiz32 & -12 0 & 0]
(E) [rr0 & 0 12 & raiz32]
(F) [rrraiz32 & 12 12 & -raiz32]
(G) [cc0 & -12 0 & raiz32]
(H) [rrraiz32 & 0 12 & 0]
(I) Não sei

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de transformações lineares no plano R^2. A parada é que tem uma rotação de 30 graus anti-horário em torno da origem, que a gente chama de R, e uma reflexão através do eixo y, que é o T. A missão é descobrir qual das matrizes apresentadas representa a transformação composta T R, ou seja, primeiro aplicar R e depois T.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as matrizes dessas transformações. Uma rotação no plano por um ângulo theta tem a matriz:
R(theta) = cos theta & -sin theta sin theta & cos theta
Como nosso ângulo é de 30 graus, vamos substituir:
cos 30^circ = raiz32, sin 30^circ = 12
Então, a matriz da rotação R fica:
R = raiz32 & -12 12 & raiz32

Passo 3

Agora, vamos para a reflexão T através do eixo y. A reflexão em relação ao eixo y inverte a coordenada x e mantém a coordenada y. A matriz dessa transformação é:
T = -1 & 0 0 & 1

Passo 4

Queremos encontrar a matriz composta T R, que significa aplicar R primeiro e depois T. Para isso, multiplicamos as matrizes na ordem T times R:
T R = -1 & 0 0 & 1 raiz32 & -12 12 & raiz32

Passo 5

Vamos multiplicar as matrizes:
  • Primeiro elemento (1,1):
(-1) times raiz32 + 0 times 12 = -raiz32
  • Primeiro elemento (1,2):
(-1) times -12 + 0 times raiz32 = 12
  • Segundo elemento (2,1):
0 times raiz32 + 1 times 12 = 12
  • Segundo elemento (2,2):
0 times -12 + 1 times raiz32 = raiz32
Então, a matriz T R fica:
T R = -raiz32 & 12 12 & raiz32

Resposta

A matriz que representa a transformação linear T R é:
[rr-raiz32 & 12 12 & raiz32]
Portanto, a opção correta é a alternativa (B).

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