Considere em duas transformações lineares: Uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 30 graus e uma reflexão através do eixo . A matrix que representa a transformação linear é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei

Passo 1

Então, a gente tem um exercício de transformações lineares no plano . A parada é que tem uma rotação de 30 graus anti-horário em torno da origem, que a gente chama de , e uma reflexão através do eixo , que é o . A missão é descobrir qual das matrizes apresentadas representa a transformação composta , ou seja, primeiro aplicar e depois .

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como são as matrizes dessas transformações. Uma rotação no plano por um ângulo tem a matriz:
Como nosso ângulo é de 30 graus, vamos substituir:
Então, a matriz da rotação fica:

Passo 3

Agora, vamos para a reflexão através do eixo . A reflexão em relação ao eixo inverte a coordenada e mantém a coordenada . A matriz dessa transformação é:

Passo 4

Queremos encontrar a matriz composta , que significa aplicar primeiro e depois . Para isso, multiplicamos as matrizes na ordem :

Passo 5

Vamos multiplicar as matrizes:
  • Primeiro elemento (1,1):
  • Primeiro elemento (1,2):
  • Segundo elemento (2,1):
  • Segundo elemento (2,2):
Então, a matriz fica:

Resposta

A matriz que representa a transformação linear é:
Portanto, a opção correta é a alternativa (B).

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(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei