Beleza! Vamos resolver essa questão de complemento ortogonal no espaço vetorial. A gente tem um subespaço de gerado pelos vetores , e . Queremos encontrar uma base para , que é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores de . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como espaço vetorial, base, span e produto interno (otimização). Vamos lá!
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal . Ele consiste em todos os vetores que satisfazem para todo . Ou seja, queremos encontrar vetores que são “perpendiculares” a todos os vetores que geram .
Passo 3
Vamos chamar os vetores que geram de , e . Para que um vetor esteja em , ele precisa satisfazer as seguintes equações de ortogonalidade:
Vamos calcular essas equações.
Passo 4
Calculando os produtos internos:
2x2 - x4 = 0 -2x1 + x4 = 0 -6x1 + 4x2 + x4 = 0
Então, temos o sistema de equações:
Passo 5
Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre as componentes de x1 = x2 x4 = 2x1 x3 ) é livre .
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Então,
Agora, substituímos e na terceira equação:
Isso significa que não temos mais equações, e as variáveis , , e estão relacionadas da seguinte forma:
Passo 6
Vamos parametrizar as soluções em termos de x1 = a x2 = a x3 = b x4 = 2a e x = a(1,1,0,2) + b(0,0,1,0) , já que essas são as variáveis livres.
Onde e são números reais.
Então, podemos escrever como:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .
Passo 7
Agora, vamos verificar as opções fornecidas para ver qual corresponde a essa base. Procuramos um conjunto de vetores que possa gerar , ou seja, que sejam combinações lineares dos vetores e .
Analisando as opções:
A opção (F) não corresponde.
A opção (H) possui o vetor que não está na nossa base.
Nenhuma das outras opções corresponde exatamente à combinação que encontramos, mas a mais próxima é a opção (F) , já que pode ser uma combinação linear relacionada.
No entanto, percebemos que nossa base é , que não está listada. Parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na parametrização.
Resposta
Nenhuma das opções apresentadas corresponde corretamente a uma base para . Portanto, a resposta é a opção (I) Não sei.