Considere o subespaço H subset R^4 definido por: H=span(0,2,0,-1),(-2,0,0,1),(-6,4,0,1). Qual dos conjuntos abaixo é base de H^perp (complemento ortogonal de H )?
(A) (4,-3,-3,4),(2,4,3,2)
(B) (4,4,2,8),(2,4,3,2)
© (4,4,2,8)
(D) (4,-3,-3,4),(1,1,-2,2)
(E) (2,4,3,2)
(F) (1,1,-2,2)
(G) (4,-3,-3,4)
(H) (4,4,2,8),(1,1,-2,2)
(I) Não sei

Passo 1

Beleza! Vamos resolver essa questão de complemento ortogonal no espaço vetorial. A gente tem um subespaço de gerado pelos vetores , e . Queremos encontrar uma base para , que é o conjunto de todos os vetores em que são ortogonais a todos os vetores de . Vamos precisar usar conceitos de álgebra linear como espaço vetorial, base, span e produto interno (otimização). Vamos lá!

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é o complemento ortogonal . Ele consiste em todos os vetores que satisfazem para todo . Ou seja, queremos encontrar vetores que são “perpendiculares” a todos os vetores que geram .

Passo 3

Vamos chamar os vetores que geram x cdot v1 = 0 x cdot v2 = 0 x cdot v3 = 0 de , e . Para que um vetor esteja em , ele precisa satisfazer as seguintes equações de ortogonalidade:
Vamos calcular essas equações.

Passo 4

Calculando os produtos internos:
  1. 2x2 - x4 = 0 -2x1 + x4 = 0 -6x1 + 4x2 + x4 = 0
Então, temos o sistema de equações:

Passo 5

Vamos resolver esse sistema para encontrar as relações entre as componentes de x1 = x2 x4 = 2x1 x3 ) é livre .
Da segunda equação:
Da primeira equação:
Então,
Agora, substituímos e na terceira equação:
Isso significa que não temos mais equações, e as variáveis , , e estão relacionadas da seguinte forma:

Passo 6

Vamos parametrizar as soluções em termos de x1 = a x2 = a x3 = b x4 = 2a e x = a(1,1,0,2) + b(0,0,1,0) , já que essas são as variáveis livres.
Onde e são números reais.
Então, podemos escrever como:
Isso mostra que qualquer vetor em pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores e .

Passo 7

Agora, vamos verificar as opções fornecidas para ver qual corresponde a essa base. Procuramos um conjunto de vetores que possa gerar , ou seja, que sejam combinações lineares dos vetores e .
Analisando as opções:
  • A opção (F) não corresponde.
  • A opção (H) possui o vetor que não está na nossa base.
Nenhuma das outras opções corresponde exatamente à combinação que encontramos, mas a mais próxima é a opção (F) , já que pode ser uma combinação linear relacionada.
No entanto, percebemos que nossa base é , que não está listada. Parece que houve um erro nas opções fornecidas ou na parametrização.

Resposta

Nenhuma das opções apresentadas corresponde corretamente a uma base para . Portanto, a resposta é a opção (I) Não sei.

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