Mostre que os pontos (0,7,10),(-1,6,6),(-4,9,6) formam um triângulo retângulo isósceles.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que os pontos , e formam um triângulo retângulo isósceles. Isso está na área da geometria analítica, onde usamos fórmulas de distância para verificar as propriedades dos triângulos. Vamos precisar calcular as distâncias entre cada par de pontos para ver se tem um ângulo de 90 graus e se dois lados são iguais.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a distância entre os pontos d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2 e dAB = raiz(-1 - 0)^2 + (6 - 7)^2 + (6 - 10)^2 = raiz(-1)^2 + (-1)^2 + (-4)^2 = raiz1 + 1 + 16 = raiz18 = 3raiz2 . A fórmula da distância entre dois pontos e no espaço 3D é:
Aplicando isso para e :

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre os pontos dBC = raiz(-4 - (-1))^2 + (9 - 6)^2 + (6 - 6)^2 = raiz(-3)^2 + 3^2 + 0^2 = raiz9 + 9 + 0 = raiz18 = 3raiz2 e :

Passo 4

Em seguida, calculamos a distância entre os pontos dAC = raiz(-4 - 0)^2 + (9 - 7)^2 + (6 - 10)^2 = raiz(-4)^2 + 2^2 + (-4)^2 = raiz16 + 4 + 16 = raiz36 = 6 e :

Passo 5

Agora que temos as três distâncias:
dAB = 3raiz2, dBC = 3raiz2, dAC = 6
Perceba que , ou seja, dois lados são iguais, o que indica que o triângulo é isósceles.

Passo 6

Para verificar se o triângulo é retângulo, vamos usar o Teorema de Pitágoras, que diz que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. Aqui, a maior distância é (3raiz2)^2 + (3raiz2)^2 = 18 + 18 = 36 , então vamos verificar:
6^2 = 36
Como , o triângulo satisfaz o Teorema de Pitágoras, ou seja, é retângulo.

Resposta

Os pontos , e formam, de fato, um triângulo retângulo isósceles.

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