Encontre a área do triângulo cujos vértices são
(b) (alpha, 1alpha),(beta, 1beta),(gamma, 1gamma)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A pergunta pede para encontrarmos a área de um triângulo cujos vértices são os pontos , e . Para resolver isso, vamos usar a fórmula da área de um triângulo com três pontos no plano cartesiano. Precisamos lembrar dessa fórmula e aplicar corretamente os valores dos vértices.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a fórmula para calcular a área de um triângulo dado por três pontos Área = 12 | x1(y2 - y3) + x2(y3 - y1) + x3(y1 - y2) | , e . A fórmula é:
Á
Essa fórmula basicamente pega as coordenadas dos três pontos e calcula uma combinação que resulta na área do triângulo formado por eles.

Passo 3

Agora, vamos identificar os valores de e para cada ponto do nosso triângulo:
  • Primeiro ponto: , então e
  • Segundo ponto: , então e
  • Terceiro ponto: , então e

Passo 4

Substituindo esses valores na fórmula da área, temos:
Área = 12 | alpha(1beta - 1gamma) + beta(1gamma - 1alpha) + gamma(1alpha - 1beta) | Á
Vamos simplificar cada termo dentro do valor absoluto.

Passo 5

Vamos simplificar cada parte:

Passo 6

Agora, somando esses três termos:
alpha(gamma - beta)betagamma + beta(alpha - gamma)alphagamma + gamma(beta - alpha)alphabeta
Para somar essas frações, precisamos de um denominador comum, que seria alpha(gamma - beta) cdot alphaalphabetagamma + beta(alpha - gamma) cdot betaalphabetagamma + gamma(beta - alpha) cdot gammaalphabetagamma . Ajustando cada termo:
alpha^2(gamma - beta) + beta^2(alpha - gamma) + gamma^2(beta - alpha)alphabetagamma
Simplificando:

Passo 7

Observamos que o numerador pode ser reorganizado:
alpha^2gamma - alpha^2beta + beta^2alpha - beta^2gamma + gamma^2beta - gamma^2alpha
Reagrupando os termos:
(alpha^2gamma - gamma^2alpha) + (beta^2alpha - alpha^2beta) + (gamma^2beta - beta^2gamma)
Fatorando cada par de termos:
alphagamma(alpha - gamma) + alphabeta(beta - alpha) + betagamma(gamma - beta)
Isso simplifica para:
-alphagamma(gamma - alpha) - alphabeta(alpha - beta) - betagamma(beta - gamma)
Como estamos lidando com o valor absoluto, podemos considerar apenas os valores positivos.

Passo 8

Finalmente, a expressão para a área fica:
Área = 12 | -(alpha - beta)(beta - gamma)(gamma - alpha) alphabetagamma | Á
Como o valor absoluto elimina o sinal negativo, temos:
Área = 12 cdot |(alpha - beta)(beta - gamma)(gamma - alpha)| |alphabetagamma| Á

Resposta

A área do triângulo é .

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