Encontre três vetores em que sejam linearmente dependentes, de modo que quaisquer dois deles são linearmente independentes.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar três vetores em que sejam linearmente dependentes, mas que qualquer dois deles sejam linearmente independentes. Isso está relacionado ao conteúdo de álgebra linear, especificamente sobre independência e dependência linear de vetores. Para resolver, vamos precisar entender o que significa vetores serem linearmente dependentes e independentes.
Passo 2
Primeiro, vamos revisar o que é independente linearmente. Dois vetores são linearmente independentes se nenhum deles pode ser obtido a partir de uma combinação linear do outro. Em outras palavras, se temos vetores e , eles são independentes se a única solução para for .
Passo 3
Agora, linearmente dependentes significa que pelo menos um dos vetores pode ser escrito como uma combinação linear dos outros. No nosso caso, queremos três vetores onde os três juntos são dependentes, mas qualquer par é independente. Isso significa que o terceiro vetor deve ser uma combinação dos dois primeiros, mas os dois primeiros não devem depender um do outro.
Passo 4
Vamos construir esses vetores passo a passo. Primeiro, escolhemos dois vetores que são linearmente independentes. Por exemplo:
Esses dois vetores são independentes porque nenhum deles é múltiplo do outro.
Passo 5
Agora, precisamos de um terceiro vetor que seja uma combinação dos dois primeiros. Por exemplo:
Aqui, é claramente uma combinação linear de e , o que faz com que os três vetores sejam linearmente dependentes.
Passo 6
Vamos verificar se qualquer par de vetores é independente. Tomando e , já vimos que são independentes. Se pegarmos e :
Isso resulta em e , então . Assim, e são independentes. O mesmo vale para e .
Resposta
Portanto, três vetores que satisfazem as condições do problema são:
Esses vetores são linearmente dependentes entre si, mas qualquer par deles é linearmente independente.