Considere em R^2 duas transformações lineares: Uma rotação R em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 30 graus e uma projeção T sobre o eixo x. A matrix que representa a transformação linear R T é:
(A) [cc0 & -12 0 & raiz32]
(B) [rrraiz32 & -12 0 & 0]
© [cc0 & 0 12 & raiz32]
(D) [rr-raiz32 & -12 -12 & raiz32]
(E) [rrraiz32 & 12 12 & -raiz32]
(F) [rr-raiz32 & 12 12 & raiz32]
(G) [rrraiz32 & -12 -12 & -raiz32]
(H) [ccraiz32 & 0 12 & 0]
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para encontrar a matriz que representa a transformação linear composta de uma rotação de 30 graus anti-horária em torno da origem, seguida de uma projeção no eixo . Vamos trabalhar com matrizes para rotações e projeções e ver qual das opções corresponde à combinação dessas transformações.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar as matrizes que representam cada transformação individualmente.
  1. Matriz de Rotação R = cos(theta) & -sin(theta) sin(theta) & cos(theta) :
    Uma rotação no plano R = cos(30^circ) & -sin(30^circ) sin(30^circ) & cos(30^circ) = raiz32 & -12 12 & raiz32 por um ângulo T = 1 & 0 0 & 0 anti-horário é representada pela matriz:
    No nosso caso, , então:
  2. Matriz de Projeção :
    A projeção no eixo simplesmente elimina a componente de qualquer vetor. A matriz que faz isso é:

Passo 3

Agora, precisamos combinar essas duas transformações. A notação R times T = raiz32 & -12 12 & raiz32 times 1 & 0 0 & 0 = raiz32 times 1 + (-12) times 0 & raiz32 times 0 + (-12) times 0 12 times 1 + raiz32 times 0 & 12 times 0 + raiz32 times 0 significa que primeiro aplicamos a transformação = raiz32 & 0 12 & 0 (projeção) e depois a transformação (rotação). Matematicamente, isso corresponde à multiplicação das matrizes .
Vamos multiplicar as matrizes:

Passo 4

Depois de multiplicar as matrizes, obtemos:
RT = raiz32 & 0 12 & 0
Agora, vamos comparar essa matriz com as opções fornecidas no enunciado.

Resposta

A matriz que representa a transformação linear [ccraiz32 & 0 12 & 0] é:
Alternativa (H)

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