Questão (3 pontos) Considere o espaço
e a seguinte base
.
b- Conside o produto interno, nesse espaço, definido por
, onde
. Ortonormalize a base
. (1,0 ponto)
b- Conside o produto interno, nesse espaço, definido por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente ortonormalizar uma base do espaço
(polinômios de grau até 5). A base que temos é
. O produto interno definido nesse espaço é
. Para ortonormalizar a base
, vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que vai transformar essa base em uma base onde todos os vetores são ortogonais entre si e têm norma 1.
Passo 2
Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base
, que é
. Para ortonormalizar, precisamos encontrar
que seja
dividido pela sua norma.
A norma de
é:
Então,
Passo 3
Agora, vamos para o segundo vetor
. Precisamos torná-lo ortogonal a
e depois normalizá-lo.
Primeiro, removemos a componente de
na direção de
:
Calculando
:
Então,
Agora, normalizamos
:
Calculando a integral:
Então,
Portanto,
Passo 4
Repetiremos esse processo para os demais vetores da base
:
,
,
e
. Para cada vetor
, subtraímos as projeções sobre todos os vetores já ortonormalizados
e, em seguida, normalizamos o resultado para obter
.
Esse processo garante que cada novo vetor seja ortogonal a todos os anteriores e tenha norma 1, formando assim uma base ortonormal.
Resposta
A base ortonormalizada
é obtida aplicando o processo de Gram-Schmidt aos vetores de
com o produto interno definido. Os primeiros vetores são:
Os demais vetores
são encontrados de maneira similar, garantindo que todos sejam ortogonais entre si e tenham norma 1.
Exercícios relacionados
Determine a reta em R2 de equação
que melhor se adapte aos pontos dados:
Considere em
duas transformações lineares: Uma rotação
em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 30 graus e uma projeção
sobre o eixo
. A matrix que representa a transformação linear
é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
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Determine a reta em R2 de equação
que melhor se adapte aos pontos dados:
Sejam
um anel e
ideais de
. Mostre que
a) é ideal de
.
a)