2^ a Questão (3 pontos) Considere o espaço V=P5 e a seguinte base A=2, x-1, x^2-1,3 x^3- 2 x 4 x^4-5 x^3, x^5-2 x^2+1.
b- Conside o produto interno, nesse espaço, definido por integral-1^1 f g d x, onde f, g in V. Ortonormalize a base A. (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente ortonormalizar uma base do espaço (polinômios de grau até 5). A base que temos é . O produto interno definido nesse espaço é . Para ortonormalizar a base , vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que vai transformar essa base em uma base onde todos os vetores são ortogonais entre si e têm norma 1.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base |v1| = raizlang<= v1, v1 rang<= = raizintegral-1^1 (2)(2),dx = raizintegral-1^1 4,dx = raiz4 times (1 - (-1)) = raiz8 = 2raiz2 , que é e1 = v1|v1| = 22raiz2 = 1raiz2 . Para ortonormalizar, precisamos encontrar que seja dividido pela sua norma.
A norma de é:
Então,

Passo 3

Agora, vamos para o segundo vetor u2 = v2 - lang<= v2, e1 rang<= e1 . Precisamos torná-lo ortogonal a lang<= x - 1, 1raiz2 rang<= = 1raiz2 integral-1^1 (x - 1),dx = 1raiz2 [ x^22 - x ]-1^1 = 1raiz2 ( (12 - 1) - (12 + 1) ) = 1raiz2 (-1 - 1.5) = -2.5raiz2 e depois normalizá-lo.
Primeiro, removemos a componente de u2 = (x - 1) - ( -2.5raiz2 ) ( 1raiz2 ) = x - 1 + 2.52 = x - 1 + 1.25 = x + 0.25 na direção de |u2| = raizlang<= u2, u2 rang<= = raizintegral-1^1 (x + 0.25)^2,dx :
integral-1^1 (x + 0.25)^2,dx = integral-1^1 (x^2 + 0.5x + 0.0625),dx = [ x^33 + 0.25x^2 + 0.0625x ]-1^1 = ( 13 + 0.25 + 0.0625 ) - ( -13 + 0.25 - 0.0625 ) = 23 + 0 + 0.125 = 23 + 0.125 = 116
Calculando |u2| = raiz116 = raiz666 :
e2 = u2|u2| = x + 0.25raiz666 = 6(x + 0.25)raiz66 = 6x + 1.5raiz66
Então,
Agora, normalizamos :
Calculando a integral:
Então,
Portanto,

Passo 4

Repetiremos esse processo para os demais vetores da base : , , e . Para cada vetor , subtraímos as projeções sobre todos os vetores já ortonormalizados e, em seguida, normalizamos o resultado para obter .
Esse processo garante que cada novo vetor seja ortogonal a todos os anteriores e tenha norma 1, formando assim uma base ortonormal.

Resposta

A base ortonormalizada e1 = 1raiz2, e2 = 6x + 1.5raiz66, ldots é obtida aplicando o processo de Gram-Schmidt aos vetores de com o produto interno definido. Os primeiros vetores são:
Os demais vetores são encontrados de maneira similar, garantindo que todos sejam ortogonais entre si e tenham norma 1.

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