Questão (3 pontos) Considere o espaço e a seguinte base .
b- Conside o produto interno, nesse espaço, definido por , onde . Ortonormalize a base . (1,0 ponto)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente ortonormalizar uma base do espaço (polinômios de grau até 5). A base que temos é . O produto interno definido nesse espaço é . Para ortonormalizar a base , vamos usar o processo de Gram-Schmidt, que vai transformar essa base em uma base onde todos os vetores são ortogonais entre si e têm norma 1.

Passo 2

Primeiro, vamos começar com o primeiro vetor da base , que é . Para ortonormalizar, precisamos encontrar que seja dividido pela sua norma.
A norma de é:
Então,

Passo 3

Agora, vamos para o segundo vetor . Precisamos torná-lo ortogonal a e depois normalizá-lo.
Primeiro, removemos a componente de na direção de :
Calculando :
Então,
Agora, normalizamos :
Calculando a integral:
Então,
Portanto,

Passo 4

Repetiremos esse processo para os demais vetores da base : , , e . Para cada vetor , subtraímos as projeções sobre todos os vetores já ortonormalizados e, em seguida, normalizamos o resultado para obter .
Esse processo garante que cada novo vetor seja ortogonal a todos os anteriores e tenha norma 1, formando assim uma base ortonormal.

Resposta

A base ortonormalizada é obtida aplicando o processo de Gram-Schmidt aos vetores de com o produto interno definido. Os primeiros vetores são:
Os demais vetores são encontrados de maneira similar, garantindo que todos sejam ortogonais entre si e tenham norma 1.

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(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
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Sejam um anel e ideais de . Mostre que
a) é ideal de .