No problema, queremos mostrar que é irracional. Isso faz parte da matéria de Números e Propriedades dos Números, especificamente sobre números racionais e irracionais. Para resolver, vamos precisar usar o método de prova por contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser irracional. Um número irracional não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros, ou seja, não pode ser representado como onde e são inteiros e .
Passo 3
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que é racional. Portanto, podemos escrever como uma fração , onde e são inteiros sem fatores comuns, e .
Passo 4
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos:
Passo 5
Isso implica que é múltiplo de 18, o que significa que também deve ser múltiplo de 3 (pois divide ). Vamos escrever como , onde é um inteiro.
Passo 6
Substituindo por na equação :
Passo 7
Isso mostra que é múltiplo de 2, o que significa que também é múltiplo de 2. Portanto, e têm um fator comum de 2, o que contraria nossa suposição inicial de que e são coprimos.
Passo 8
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que é racional está errada. Portanto, é irracional.