Mostre que é irracional.

Passo 1

No problema, queremos mostrar que é irracional. Isso faz parte da matéria de Números e Propriedades dos Números, especificamente sobre números racionais e irracionais. Para resolver, vamos precisar usar o método de prova por contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser irracional. Um número irracional não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros, ou seja, não pode ser representado como onde e são inteiros e .

Passo 3

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que é racional. Portanto, podemos escrever como uma fração , onde e são inteiros sem fatores comuns, e .

Passo 4

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos:

Passo 5

Isso implica que é múltiplo de 18, o que significa que também deve ser múltiplo de 3 (pois divide ). Vamos escrever como , onde é um inteiro.

Passo 6

Substituindo por na equação :

Passo 7

Isso mostra que é múltiplo de 2, o que significa que também é múltiplo de 2. Portanto, e têm um fator comum de 2, o que contraria nossa suposição inicial de que e são coprimos.

Passo 8

Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que é racional está errada. Portanto, é irracional.

Resposta

O número é irracional.

Exercícios relacionados

Considere a transformação linear .
Determine B a matriz que representa a INVERSA de . A entrada vale:
(A) -6
(B) -5
© -4
(D) -3
(E) -2
(F) -1
(G) 0
(H) 1
(I) Não sei
Suponha tal que


Assinale a afirmação verdadeira:
(A) Pode-se afirmar que não tem solução para certos valores do vetor e que quando existe solução ela não é única.
(B) Não se pode afirmar se tem solução para qualquer .
© Pode-se afirmar que tem solução para qualquer , mas não se pode garantir unicidade.
(D) Pode-se afirmar que tem solução única para qualquer .
(E) Pode-se afirmar que não tem solução para certos valores do vetor , mas quando existe solução ela é única.
(F) Não existe matriz que satisfaça às condições do enunciado.
(G) Não sei
Seja , . A dimensão da imagem de é:
(A) 1
(B) 4
© 0
(D) 2
(E) 3
(F) Não sei
Considere em duas transformações lineares: Uma rotação em torno da origem, no sentido anti-horário, por um ângulo de 30 graus e uma projeção sobre o eixo . A matrix que representa a transformação linear é:
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei