Mostre que
é irracional.
Passo 1
No problema, queremos mostrar que
é irracional. Isso faz parte da matéria de Números e Propriedades dos Números, especificamente sobre números racionais e irracionais. Para resolver, vamos precisar usar o método de prova por contradição.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser irracional. Um número irracional não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros, ou seja, não pode ser representado como
onde
e
são inteiros e
.
Passo 3
Vamos supor, para chegar a uma contradição, que
é racional. Portanto, podemos escrever
como uma fração
, onde
e
são inteiros sem fatores comuns, e
.
Passo 4
Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos:
Passo 5
Isso implica que
é múltiplo de 18, o que significa que
também deve ser múltiplo de 3 (pois
divide
). Vamos escrever
como
, onde
é um inteiro.
Passo 6
Substituindo
por
na equação
:
Passo 7
Isso mostra que
é múltiplo de 2, o que significa que
também é múltiplo de 2. Portanto,
e
têm um fator comum de 2, o que contraria nossa suposição inicial de que
e
são coprimos.
Passo 8
Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que
é racional está errada. Portanto,
é irracional.
Resposta
O número
é irracional.