Mostre que raiz18 é irracional.

Passo 1

No problema, queremos mostrar que raiz18 é irracional. Isso faz parte da matéria de Números e Propriedades dos Números, especificamente sobre números racionais e irracionais. Para resolver, vamos precisar usar o método de prova por contradição.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa um número ser irracional. Um número irracional não pode ser expresso como uma fração de dois inteiros, ou seja, não pode ser representado como ab onde a e b são inteiros e b neq 0.

Passo 3

Vamos supor, para chegar a uma contradição, que raiz18 é racional. Portanto, podemos escrever raiz18 como uma fração ab, onde a e b são inteiros sem fatores comuns, e b neq 0.

Passo 4

Elevando ambos os lados da equação ao quadrado, temos:
18 = (ab)^2 Rightarrow 18 = a^2b^2 Rightarrow a^2 = 18b^2

Passo 5

Isso implica que a^2 é múltiplo de 18, o que significa que a também deve ser múltiplo de 3 (pois 3^2 divide a^2). Vamos escrever a como 3k, onde k é um inteiro.

Passo 6

Substituindo a por 3k na equação a^2 = 18b^2:
(3k)^2 = 18b^2 Rightarrow 9k^2 = 18b^2 Rightarrow k^2 = 2b^2

Passo 7

Isso mostra que k^2 é múltiplo de 2, o que significa que k também é múltiplo de 2. Portanto, a e b têm um fator comum de 2, o que contraria nossa suposição inicial de que a e b são coprimos.

Passo 8

Como chegamos a uma contradição, nossa suposição de que raiz18 é racional está errada. Portanto, raiz18 é irracional.

Resposta

O número raiz18 é irracional.

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