Determine a reta em R2 de equação y=k x que melhor se adapte aos pontos dados:
(6,9),(1,2)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar a reta no plano com a equação que melhor se ajusta aos pontos e . Para isso, vamos usar um método chamado mínimos quadrados, que ajuda a encontrar a melhor linha que representa os dados que temos.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa “melhor se ajustar”. Aqui, queremos que a reta minimize a distância entre ela e os pontos dados. Usamos o método dos mínimos quadrados para fazer isso, que basicamente soma os quadrados das diferenças (erros) entre os valores reais dos pontos e os valores previstos pela reta.

Passo 3

Vamos chamar o erro para cada ponto de S(k) = sumi=1^n ei^2 = (9 - 6k)^2 + (2 - k)^2 , onde . Nosso objetivo é minimizar a soma desses erros ao quadrado:

Passo 4

Para encontrar o valor de dSdk = 2(9 - 6k)(-6) + 2(2 - k)(-1) = 0 que minimiza , derivamos em relação a e igualamos a zero:

Passo 5

Simplificando a equação derivada:
-12(9 - 6k) - 2(2 - k) = 0
-108 + 72k - 4 + 2k = 0
74k - 112 = 0

Passo 6

Resolvendo para 74k = 112 :
k = 11274 = 5637 approx 1,5135

Resposta

A reta que melhor se ajusta aos pontos e é , ou aproximadamente .

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