Seja T(x1, x2, x3, x4)=(x1+2 x2-2 x3-2 x4, x1+3 x2-x3-4 x4, -2 x1-2 x2+3 x3+x4). A dimensão da imagem de T é:
(A) 1
(B) 4
© 0
(D) 2
(E) 3
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que recebe um vetor com 4 componentes e devolve um com 3 componentes. O que a gente precisa descobrir é a dimensão da imagem dessa transformação, que basicamente nos diz quantos “direcionamentos” diferentes os vetores podem ter após passarem por .

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a transformação linear T(x1, x2, x3, x4) = x1 + 2x2 - 2x3 - 2x4 x1 + 3x2 - x3 - 4x4 -2x1 - 2x2 + 3x3 + x4 de uma forma mais clara, como se fosse uma matriz. Isso ajuda a gente a visualizar melhor o que está acontecendo. A transformação é dada por:

Passo 3

Agora, vamos transformar isso numa matriz A = 1 & 2 & -2 & -2 1 & 3 & -1 & -4 -2 & -2 & 3 & 1 onde cada linha representa uma das equações acima:

Passo 4

Para encontrar a dimensão da imagem de , que é o mesmo que encontrar a “posição de ranque” ou o posto da matriz , vamos reduzir essa matriz para a forma escalonada por linhas. Isso significa simplificar a matriz usando operações de linha para facilitar a contagem das linhas não nulas.

Passo 5

Vamos começar subtraindo a primeira linha da segunda linha para eliminar o 1 & 2 & -2 & -2 0 & 1 & 1 & -2 -2 & -2 & 3 & 1 da segunda linha:

Passo 6

Em seguida, vamos somar duas vezes a primeira linha à terceira linha para eliminar o 1 & 2 & -2 & -2 0 & 1 & 1 & -2 0 & 2 & -1 & -3 da terceira linha:

Passo 7

Agora, vamos subtrair duas vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar o 1 & 2 & -2 & -2 0 & 1 & 1 & -2 0 & 0 & -3 & 1 da terceira linha:

Passo 8

Pronto! Agora a matriz está na forma escalonada e podemos ver que todas as três linhas têm pelo menos um elemento diferente de zero. Isso significa que o posto da matriz é 3.

Resposta

A dimensão da imagem de é 3. A opção correta é a (E) 3.

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