Beleza, vamos lá! A questão fala sobre uma transformação linear que recebe um vetor com 4 componentes e devolve um com 3 componentes. O que a gente precisa descobrir é a dimensão da imagem dessa transformação, que basicamente nos diz quantos “direcionamentos” diferentes os vetores podem ter após passarem por .
Passo 2
Primeiro, vamos escrever a transformação linear de uma forma mais clara, como se fosse uma matriz. Isso ajuda a gente a visualizar melhor o que está acontecendo. A transformação é dada por:
Passo 3
Agora, vamos transformar isso numa matriz A = 1 & 2 & -2 & -2 1 & 3 & -1 & -4 -2 & -2 & 3 & 1 onde cada linha representa uma das equações acima:
Passo 4
Para encontrar a dimensão da imagem de , que é o mesmo que encontrar a “posição de ranque” ou o posto da matriz , vamos reduzir essa matriz para a forma escalonada por linhas. Isso significa simplificar a matriz usando operações de linha para facilitar a contagem das linhas não nulas.
Passo 5
Vamos começar subtraindo a primeira linha da segunda linha para eliminar o 1 & 2 & -2 & -2 0 & 1 & 1 & -2 -2 & -2 & 3 & 1 da segunda linha:
Passo 6
Em seguida, vamos somar duas vezes a primeira linha à terceira linha para eliminar o 1 & 2 & -2 & -2 0 & 1 & 1 & -2 0 & 2 & -1 & -3 da terceira linha:
Passo 7
Agora, vamos subtrair duas vezes a segunda linha da terceira linha para eliminar o 1 & 2 & -2 & -2 0 & 1 & 1 & -2 0 & 0 & -3 & 1 da terceira linha:
Passo 8
Pronto! Agora a matriz está na forma escalonada e podemos ver que todas as três linhas têm pelo menos um elemento diferente de zero. Isso significa que o posto da matriz é 3.
Resposta
A dimensão da imagem de é 3. A opção correta é a (E) 3.