Deve-se construir uma caixa retangular fechada de
de volume. Se o custo por metro quadrado do material para os lados, o fundo e a tampa é $200,00, $400,00 e $ 300,00, respectivamente, ache as dimensões que minimizam o custo.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de otimização! A gente precisa construir uma caixa retangular fechada com volume de 2 metros cúbicos. O objetivo é encontrar as dimensões (comprimento, largura e altura) que vão minimizar o custo total dos materiais. Aqui, o conteúdo que vamos usar é cálculo, especialmente otimização com restrições. Vamos precisar das fórmulas de volume e de custos, além de um pouco de álgebra para otimizar.
Passo 2
Primeiro, vamos definir as variáveis:
- Seja
o comprimento da caixa (em metros). - Seja
a largura da caixa (em metros). - Seja
a altura da caixa (em metros).
Passo 3
Sabemos que o volume da caixa é 2 m³, então podemos escrever a equação do volume:
Isso será nossa restrição para o problema.
Passo 4
Agora, vamos calcular a área de cada parte da caixa:
- Área do fundo:
- Área da tampa:
- Área das laterais:
Passo 5
O custo total
será a soma dos custos de todas as partes:
Passo 6
Queremos minimizar
sob a restrição do volume. Para facilitar, vamos expressar uma das variáveis em função das outras usando a equação do volume. Por exemplo, isolando
:
Passo 7
Substituindo
na equação de custos:
Passo 8
Agora, temos uma função de custo em termos de
e
. Para minimizar, vamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e
e igualá-las a zero.
Para
:
Para
:
Passo 9
Vamos resolver essas equações para
e
.
Da primeira equação:
Da segunda equação:
Passo 10
Agora, substituímos
da primeira equação na segunda:
Passo 11
Agora, encontramos
. Vamos achar
usando:
Passo 12
Por fim, encontramos
usando a equação do volume:
Resposta
As dimensões que minimizam o custo são aproximadamente:
- Comprimento: 1,333 metros
- Largura: 1,287 metros
- Altura: 1,167 metros
Exercícios relacionados
Seja
.
© Determine a equação do plano tangente a superfície no ponto
.
© Determine a equação do plano tangente a superfície
Seja
.
(b) Determine a inclinação da superfície na direção
no ponto
.
(b) Determine a inclinação da superfície
Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se
é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores
e
é dado por:
Os valores esperados para X e Y é dado por:
Sabendo que,
Determine
;
Considere duas variáveis aleatórias contínuas, X e Y . Se
é uma densidade de probabilidade conjunta conhecida, então a probabilidade de X e Y assumirem os valores
e
é dado por:
Os valores esperados para X e Y é dado por:
Sabendo que,
Determine
;