Encontre a solução geral das EDOs:
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) de quarta ordem:
. Vamos precisar usar conceitos de EDOs lineares com coeficientes constantes e resolver a equação característica associada para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma mais simples:
Aqui,
representa a quarta derivada de
em relação a
.
Passo 3
Para resolver essa EDO, vamos usar a equação característica. Para equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes, a solução geral pode ser encontrada resolvendo a equação característica associada.
Passo 4
A equação característica para a nossa EDO
é obtida substituindo
por
, onde
é uma constante. Então, temos:
Passo 5
Agora, vamos resolver a equação característica:
Para resolver
, vamos expressar o número -4 em termos de números complexos. Sabemos que
.
Passo 6
Extraindo a raiz quarta de ambos os lados, temos:
Calculando, obtemos quatro raízes complexas:
e
Passo 7
Com as raízes complexas
, a solução geral da EDO é dada por:
No nosso caso,
e
, já que as raízes são puramente imaginárias. Portanto, a solução geral simplifica para:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Como
e
são constantes arbitrárias, podemos renomeá-las como
e
, respectivamente.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Onde
e
são constantes arbitrárias.
Exercícios relacionados
Dadas as funções, faça o que se pede: Verifique se as derivadas
e
são contínuas em
I.
Considere a EDO
Encontre o fator integrante
.
Determine o diferencial total da função
Encontre a solução geral das EDOs: