Encontre a solução geral das EDOs:

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar a solução geral da equação diferencial ordinária (EDO) de quarta ordem: . Vamos precisar usar conceitos de EDOs lineares com coeficientes constantes e resolver a equação característica associada para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a EDO de uma forma mais simples:
Aqui, representa a quarta derivada de em relação a .

Passo 3

Para resolver essa EDO, vamos usar a equação característica. Para equações diferenciais lineares de ordem superior com coeficientes constantes, a solução geral pode ser encontrada resolvendo a equação característica associada.

Passo 4

A equação característica para a nossa EDO é obtida substituindo por , onde é uma constante. Então, temos:

Passo 5

Agora, vamos resolver a equação característica:
Para resolver , vamos expressar o número -4 em termos de números complexos. Sabemos que .

Passo 6

Extraindo a raiz quarta de ambos os lados, temos:
Calculando, obtemos quatro raízes complexas:
e

Passo 7

Com as raízes complexas , a solução geral da EDO é dada por:
No nosso caso, e , já que as raízes são puramente imaginárias. Portanto, a solução geral simplifica para:
Podemos combinar os termos semelhantes:
Como e são constantes arbitrárias, podemos renomeá-las como e , respectivamente.

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
Onde e são constantes arbitrárias.

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