Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados:
Passo 1
Vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Precisamos identificar as curvas de nível da função
para os valores de
. Curvas de nível são aquelas onde a função
mantém um valor constante
. Para resolver isso, vamos manipular a equação para expressar
em termos de
e assim esboçar as curvas correspondentes.
Passo 2
Primeiro, sabemos que as curvas de nível são definidas por
. Então, vamos igualar a função a cada valor de
:
Passo 3
Para resolver essa equação, vamos isolar
. Multiplicando ambos os lados por
:
Agora, dividindo ambos os lados por
:
Finalmente, isolando
:
Passo 4
Agora, temos a expressão de
em termos de
para cada valor de
:
Sabemos que
representa uma parábola inclinada no eixo
. O termo
irá deslocar a parábola para a direita ou para a esquerda, dependendo do valor de
.
Passo 5
Vamos calcular
para cada valor de
:
-
Para
: Então, -
Para
: Então, -
Para
: Então, -
Para
: Então,
Passo 6
Agora, vamos entender como cada uma dessas equações se comporta graficamente:
-
: Uma parábola que abre para a direita, deslocada 0.5 unidades para a esquerda. -
: Uma parábola que abre para a direita, deslocada 1 unidade para a esquerda. -
: Uma parábola que abre para a direita, deslocada 1 unidade para a direita. -
: Uma parábola que abre para a direita, deslocada 0.5 unidades para a direita.
Resposta
As curvas de nível
são parábolas da forma
. Para os valores dados de
:
- Para
: - Para
: - Para
: - Para
:
Cada uma desses representa uma parábola aberta para a direita, deslocada no eixo
conforme os valores de
.
Exercícios relacionados
( ) Toda função f(x, y) contínua num conjunto fechado e limitado admite um extremo absoluto
Determine as equações paramétricas para a elipse com semi-eixo maior 5 ao longo do eixo
e semi-eixo menor 3 ao longo do eixo
.
Determine e esboce as superfícies de nível da função
para os valores
.
Considere a EDO
Encontre a solução quando
.