Determine e esboce as superfícies de nível da função para os valores .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar e desenhar as superfícies de nível da função para os valores . Isso está relacionado ao estudo das superfícies de nível em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como identificá-las a partir de uma função de várias variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que são superfícies de nível. Uma superfície de nível para uma função é o conjunto de pontos que satisfazem a equação , onde é uma constante. Basicamente, é onde a função assume um valor específico.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa função . Para cada valor de , vamos resolver a equação:

Passo 4

Essa equação é conhecida como a equação de uma esfera no espaço tridimensional. A equação geral de uma esfera com centro na origem e raio é:
Comparando com nossa equação, vemos que , então o raio é igual a .

Passo 5

Agora, vamos determinar as superfícies de nível para cada valor de :
  1. Para :
    Aqui, . Então, a superfície de nível é uma esfera com raio 1 centrada na origem.
  2. Para :
    Aqui, . Então, a superfície de nível é uma esfera com raio 2 centrada na origem.
  3. Para :
    Aqui, . Então, a superfície de nível é uma esfera com raio 3 centrada na origem.

Resposta

As superfícies de nível da função para são esferas centradas na origem com raios iguais a 1, 2 e 3, respectivamente.

Exercícios relacionados

Identifique as curvas de nível e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados:
( ) Toda função f(x, y) contínua num conjunto fechado e limitado admite um extremo absoluto
Considere a EDO
Encontre a solução quando .
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.
(a)
(b)
©
(d)