Determine e esboce as superfícies de nível da função
para os valores
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A pergunta pede para determinar e desenhar as superfícies de nível da função
para os valores
. Isso está relacionado ao estudo das superfícies de nível em cálculo multivariável. Para resolver, vamos precisar entender o que são superfícies de nível e como identificá-las a partir de uma função de várias variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que são superfícies de nível. Uma superfície de nível para uma função
é o conjunto de pontos
que satisfazem a equação
, onde
é uma constante. Basicamente, é onde a função assume um valor específico.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa função
. Para cada valor de
, vamos resolver a equação:
Passo 4
Essa equação é conhecida como a equação de uma esfera no espaço tridimensional. A equação geral de uma esfera com centro na origem
e raio
é:
Comparando com nossa equação, vemos que
, então o raio
é igual a
.
Passo 5
Agora, vamos determinar as superfícies de nível para cada valor de
:
-
Para
: Aqui,. Então, a superfície de nível é uma esfera com raio 1 centrada na origem. -
Para
: Aqui,. Então, a superfície de nível é uma esfera com raio 2 centrada na origem. -
Para
: Aqui,. Então, a superfície de nível é uma esfera com raio 3 centrada na origem.
Resposta
As superfícies de nível da função
para
são esferas centradas na origem com raios iguais a 1, 2 e 3, respectivamente.
Exercícios relacionados
Identifique as curvas de nível
e esboçe as curvas correspondentes aos seguintes valores de c dados:
( ) Toda função f(x, y) contínua num conjunto fechado e limitado admite um extremo absoluto
Considere a EDO
Encontre a solução quando
.
Determine se a afirmação é verdadeira ou falsa.
(a)
(b)
©
(d)
(a)
(b)
©
(d)