Considere a EDO a * d^2y/dx^2 + b * dy/dx + c * y = 0 com a, b, c em R tais que b^2 - 4ac = 0 e a != 0. Mostre que: y1(x) = e^(-b/(2*a) * x) é solução da EDO.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau: , onde , e são números reais, e sabemos que com . A tarefa é mostrar que a função é uma solução dessa EDO. Para isso, vamos precisar entender como verificar se uma função é solução de uma EDO, ou seja, substituí-la na equação e ver se ela satisfaz a igualdade.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que para verificar se é uma solução da EDO, a gente precisa calcular a primeira e a segunda derivadas de em relação a .

Passo 3

Vamos calcular a primeira derivada de :

Passo 4

Agora, a segunda derivada:

Passo 5

Agora que temos , e , vamos substituir esses valores na EDO original:

Passo 6

Vamos simplificar cada termo:

Passo 7

Agora, somando todos os termos:
Podemos fatorar :

Passo 8

Simplificando o que está dentro dos parênteses:
Como , temos . Substituindo:

Resposta

Como a substituição resultou em , a função realmente satisfaz a equação diferencial dada. Portanto, é uma solução da EDO.

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