Considere a EDO
com
tais que
e
. Mostre que:
é solução da EDO.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício de equações diferenciais! A gente tem uma equação diferencial ordinária (EDO) do segundo grau:
, onde
,
e
são números reais, e sabemos que
com
. A tarefa é mostrar que a função
é uma solução dessa EDO. Para isso, vamos precisar entender como verificar se uma função é solução de uma EDO, ou seja, substituí-la na equação e ver se ela satisfaz a igualdade.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que para verificar se
é uma solução da EDO, a gente precisa calcular a primeira e a segunda derivadas de
em relação a
.
Passo 3
Vamos calcular a primeira derivada de
:
Passo 4
Agora, a segunda derivada:
Passo 5
Agora que temos
,
e
, vamos substituir esses valores na EDO original:
Passo 6
Vamos simplificar cada termo:
Passo 7
Agora, somando todos os termos:
Podemos fatorar
:
Passo 8
Simplificando o que está dentro dos parênteses:
Como
, temos
. Substituindo:
Resposta
Como a substituição resultou em
, a função
realmente satisfaz a equação diferencial dada. Portanto,
é uma solução da EDO.