Seja
uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução
de forma que
e
sejam soluções fundamentais da equação.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E sabemos que
é uma das soluções dessa equação. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução
de forma que
e
formem um conjunto de soluções fundamentais para a equação diferencial. Para resolver isso, vamos utilizar o método da redução de ordem, que nos permite encontrar
sabendo
.
Passo 2
Primeiro, lembramos que uma equação diferencial de segunda ordem pode ter duas soluções lineares e independentes, que formam o conjunto de soluções gerais. Como já temos
, precisamos encontrar
que seja diferente e não seja um múltiplo de
.
Passo 3
Vamos assumir que a segunda solução
pode ser escrita como:
Aqui,
é uma função que precisamos determinar. Esse é o passo inicial do método da redução de ordem.
Passo 4
Derivamos
em relação a
:
Passo 5
Substituímos
,
e
na equação diferencial original:
Passo 6
Sabendo que
é uma solução da equação diferencial, podemos simplificar a expressão acima, já que ela satisfaz a equação original:
Passo 7
Dividimos toda a equação por
:
Isso nos leva a uma equação linear de primeira ordem para
.
Passo 8
Resolvemos a equação para
:
Aqui,
é uma constante de integração.
Passo 9
Integrando
, obtemos:
Passo 10
Finalmente, substituímos
na expressão de
:
Resposta
A segunda solução
é dada por: