Seja y1(x) uma das soluções obtidas no item anterior. Determine uma segunda solução y2(x) de forma que y1(x) e y2(x) sejam soluções fundamentais da equação. (x+3) y'' + (x+2) y' - y = 0

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos uma equação diferencial de segunda ordem:
E sabemos que é uma das soluções dessa equação. Nosso objetivo é encontrar uma segunda solução de forma que e formem um conjunto de soluções fundamentais para a equação diferencial. Para resolver isso, vamos utilizar o método da redução de ordem, que nos permite encontrar sabendo .

Passo 2

Primeiro, lembramos que uma equação diferencial de segunda ordem pode ter duas soluções lineares e independentes, que formam o conjunto de soluções gerais. Como já temos , precisamos encontrar que seja diferente e não seja um múltiplo de .

Passo 3

Vamos assumir que a segunda solução pode ser escrita como:
Aqui, é uma função que precisamos determinar. Esse é o passo inicial do método da redução de ordem.

Passo 4

Derivamos em relação a :

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial original:

Passo 6

Sabendo que é uma solução da equação diferencial, podemos simplificar a expressão acima, já que ela satisfaz a equação original:

Passo 7

Dividimos toda a equação por :
Isso nos leva a uma equação linear de primeira ordem para .

Passo 8

Resolvemos a equação para :
Aqui, é uma constante de integração.

Passo 9

Integrando , obtemos:

Passo 10

Finalmente, substituímos na expressão de :

Resposta

A segunda solução é dada por:

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