Mostre que a equação indicial tem duas raízes reais distintas,
e
então
são soluções fundamentais de
e portnto
é solução geral da EDO para
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem que mostrar que a equação indicial do problema tem duas raízes reais diferentes, chamadas
e
. Com isso, as funções
e
serão soluções fundamentais da equação diferencial dada:
E, por consequência, a solução geral será:
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação diferencial apresentada é uma Equação de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
Onde
e
são constantes. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para resolver uma Equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução do tipo:
Onde
é um número que precisamos determinar. A ideia é substituir essa forma na equação diferencial e encontrar os valores possíveis de
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 6
Como
para
, a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Essa é a equação indicial da nossa EDO.
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Para que as raízes sejam reais e distintas, o discriminante deve ser positivo:
Assumindo que
, temos duas raízes reais distintas:
e
.
Passo 8
Com as raízes
e
encontradas, as soluções fundamentais da equação são:
Passo 9
Como as duas soluções são lineares e independentes, a solução geral da equação diferencial para
é uma combinação linear delas:
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial
para
é:
Onde
e
são as raízes reais distintas da equação indicial
.