Mostre que a equação indicial tem duas raízes reais distintas, r1 e r2 então y1(x) = x^r1 e y2(x) = x^r2 são soluções fundamentais de x^2 y'' + b x y' + c y = 0 e portnto y(x) = c1 * x^(r1) + c2 * x^(r2) é solução geral da EDO para x > 0.

Passo 1

Ok, vamos lá! A gente tem que mostrar que a equação indicial do problema tem duas raízes reais diferentes, chamadas r1 e r2. Com isso, as funções e serão soluções fundamentais da equação diferencial dada:
E, por consequência, a solução geral será:
Vamos resolver isso passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que a equação diferencial apresentada é uma Equação de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
Onde a e b são constantes. No nosso caso, e .

Passo 3

Para resolver uma Equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução do tipo:
Onde r é um número que precisamos determinar. A ideia é substituir essa forma na equação diferencial e encontrar os valores possíveis de r.

Passo 4

Vamos calcular as derivadas de y:

Passo 5

Agora, substituímos y, e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 6

Como para , a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Essa é a equação indicial da nossa EDO.

Passo 7

Vamos resolver a equação quadrática usando a fórmula de Bhaskara:
Para que as raízes sejam reais e distintas, o discriminante deve ser positivo:
Assumindo que , temos duas raízes reais distintas: r1 e r2.

Passo 8

Com as raízes r1 e r2 encontradas, as soluções fundamentais da equação são:

Passo 9

Como as duas soluções são lineares e independentes, a solução geral da equação diferencial para é uma combinação linear delas:

Resposta

Portanto, a solução geral da equação diferencial para é:
Onde r1 e r2 são as raízes reais distintas da equação indicial .

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