Mostre que a equação indicial tem duas raízes reais distintas,
e
então
são soluções fundamentais de
e portnto
é solução geral da EDO para
.
Passo 1
Ok, vamos lá! A gente tem que mostrar que a equação indicial do problema tem duas raízes reais diferentes, chamadas
e
. Com isso, as funções
e
serão soluções fundamentais da equação diferencial dada:
E, por consequência, a solução geral será:
Vamos resolver isso passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que a equação diferencial apresentada é uma Equação de Cauchy-Euler. Esse tipo de equação tem a forma geral:
Onde
e
são constantes. No nosso caso,
e
.
Passo 3
Para resolver uma Equação de Cauchy-Euler, assumimos uma solução do tipo:
Onde
é um número que precisamos determinar. A ideia é substituir essa forma na equação diferencial e encontrar os valores possíveis de
.
Passo 4
Vamos calcular as derivadas de
:
Passo 5
Agora, substituímos
,
e
na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 6
Como
para
, a expressão dentro dos colchetes deve ser igual a zero:
Essa é a equação indicial da nossa EDO.
Passo 7
Vamos resolver a equação quadrática
usando a fórmula de Bhaskara:
Para que as raízes sejam reais e distintas, o discriminante deve ser positivo:
Assumindo que
, temos duas raízes reais distintas:
e
.
Passo 8
Com as raízes
e
encontradas, as soluções fundamentais da equação são:
Passo 9
Como as duas soluções são lineares e independentes, a solução geral da equação diferencial para
é uma combinação linear delas:
Resposta
Portanto, a solução geral da equação diferencial
para
é:
Onde
e
são as raízes reais distintas da equação indicial
.
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.566ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“34.311ex” height=“2.452ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -833.9 15165.4 1083.9”><title>z1(x)=x^2, z2(x)=x^3, z3(x)=e^(-x)</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“msub”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D467” d=“M347 338Q337 338 294 349T231 360Q211 360 197 356T174 346T162 335T155 324L153 320Q150 317 138 317Q117 317 117 325Q117 330 120 339Q133 378 163 406T229 440Q241 442 246 442Q271 442 291 425T329 392T367 375Q389 375 411 408T434 441Q435 442 449 442H462Q468 436 468 434Q468 430 463 420T449 399T432 377T418 358L411 349Q368 298 275 214T160 106L148 94L163 93Q185 93 227 82T290 71Q328 71 360 90T402 140Q406 149 409 151T424 153Q443 153 443 143Q443 138 442 134Q425 72 376 31T278 -11Q252 -11 232 6T193 40T155 57Q111 57 76 -3Q70 -11 59 -11H54H41Q35 -5 35 -2Q35 13 93 84Q132 129 225 214T340 322Q352 338 347 338Z”></path></g><g data-mml-node=“TeXAtom” transform=“translate(498,-150) scale(0.707)” data-mjx-texclass=“ORD”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“31” d=“M213 578L200 573Q186 568 160 563T102 556H83V602H102Q149 604 189 617T245 641T273 663Q275 666 285 666Q294 666 302 660V361L303 61Q310 54 315 52T339 48T401 46H427V0H416Q395 3 257 3Q121 3 100 0H88V46H114Q136 46 152 46T177 47T193 50T201 52T207 57T213 61V578Z”></path></g></g></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(901.6,0)”><path data-c=“28” d=“M94 250Q94 319 104 381T127 488T164 576T202 643T244 695T277 729T302 750H315H319Q333 750 333 741Q333 738 316 720T275 667T226 581T184 443T167 250T184 58T225 -81T274 -167T316 -220T333 -241Q333 -250 318 -250H315H302L274 -226Q180 -141 137 -14T94 250Z”></path></g><g data-mml-node=“mi” transform=“translate(1290.6,0)”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 106 386T222 442Q257 442 286 424T329 379Q371 442 430 442Q467 442 494 420T522 361Q522 332 508 314T481 292T458 288Q439 288 427 299T415 328Q415 374 465 391Q454 404 425 404Q412 404 406 402Q368 386 350 336Q290 115 290 78Q290 50 306 38T341 26Q378 26 414 59T463 140Q466 150 469 151T485 153H489Q504 153 504 145Q504 144 502 134Q486 77 440 33T333 -11Q263 -11 227 52Q186 -10 133 -10H127Q78 -10 57 16T35 71Q35 103 54 123T99 143Q142 143 142 101Q142 81 130 66T107 46T94 41L91 40Q91 39 97 36T113 29T132 26Q168 26 194 71Q203 87 217 139T245 247T261 313Q266 340 266 352Q266 380 251 392T217 404Q177 404 142 372T93 290Q91 281 88 280T72 278H58Q52 284 52 289Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(1862.6,0)”><path data-c=“29” d=“M60 749L64 750Q69 750 74 750H86L114 726Q208 641 251 514T294 250Q294 182 284 119T261 12T224 -76T186 -143T145 -194T113 -227T90 -246Q87 -249 86 -250H74Q66 -250 63 -250T58 -247T55 -238Q56 -237 66 -225Q221 -64 221 250T66 725Q56 737 55 738Q55 746 60 749Z”></path></g><g data-mml-node=“mo” transform=“translate(2529.3,0)”><path data-c=“3D” d=“M56 347Q56 360 70 367H707Q722 359 722 347Q722 336 708 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Determine a solução geral da EDO no intervalo <span class="math-inline ">
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Encontre uma função <span class="math-inline ">
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Prove que as duas soluções são soluções fundamentais.</div>
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<mjx-container class=“MathJax” jax=“SVG”><svg style=“vertical-align: -0.871ex;” xmlns=“http://www.w3.org/2000/svg” width=“26.079ex” height=“3.303ex” role=“img” focusable=“false” viewBox=“0 -1074.6 11526.9 1459.8”><title>2 x^2 * d2y/dx2 - x * dy/dx - 9y = 0</title><g stroke=“currentColor” fill=“currentColor” stroke-width=“0” transform=“scale(1,-1)”><g data-mml-node=“math”><g data-mml-node=“mn”><path data-c=“32” d=“M109 429Q82 429 66 447T50 491Q50 562 103 614T235 666Q326 666 387 610T449 465Q449 422 429 383T381 315T301 241Q265 210 201 149L142 93L218 92Q375 92 385 97Q392 99 409 186V189H449V186Q448 183 436 95T421 3V0H50V19V31Q50 38 56 46T86 81Q115 113 136 137Q145 147 170 174T204 211T233 244T261 278T284 308T305 340T320 369T333 401T340 431T343 464Q343 527 309 573T212 619Q179 619 154 602T119 569T109 550Q109 549 114 549Q132 549 151 535T170 489Q170 464 154 447T109 429Z”></path></g><g data-mml-node=“msup” transform=“translate(500,0)”><g data-mml-node=“mi”><path data-c=“1D465” d=“M52 289Q59 331 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Encontre uma função <span class="math-inline ">
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Prove que as duas soluções são soluções fundamentais.</div>
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