Mostre que y1(x) = 1/x, x > 0 é solução da equação diferencial x^2 y'' + 3 x y' + y = 0. Encontre uma função v(x) tal que y2(x) = v(x) y1(x) seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções são soluções fundamentais.

Passo 1

Beleza! Vamos resolver um exercício de equações diferenciais. A gente precisa mostrar que é uma solução da equação diferencial . Depois, vamos encontrar uma segunda solução na forma e provar que essas duas soluções formam um conjunto fundamental. Para isso, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares e o método de redução de ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente resolve a equação diferencial. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de .
A derivada primeira de é:
A derivada segunda de é:

Passo 3

Agora, vamos substituir , e na equação diferencial para verificar se ela se anula:
Então, é de fato uma solução da equação diferencial.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma segunda solução . Para isso, usamos o método de redução de ordem. Primeiro, derivamos :
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :

Passo 5

Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:

Passo 6

Agora, temos uma equação diferencial para :
Vamos dividir por (considerando ):
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Vamos chamar , então:

Passo 7

Essa equação pode ser resolvida usando o fator integrante. O fator integrante é:
Multiplicando a equação por :
Integrando ambos os lados:
Lembrando que :

Passo 8

Integrando novamente para encontrar :
Podemos considerar e para simplificar, então:

Passo 9

Portanto, a segunda solução é:

Passo 10

Para provar que e são soluções fundamentais, precisamos mostrar que elas são linearmente independentes. Calculamos o Wronskiano:
[ W(y_1, y_2) =


]
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.

Resposta

As soluções e são soluções fundamentais da equação diferencial dada.

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