Mostre que é solução da equação diferencial . Encontre uma função tal que seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções são soluções fundamentais.
Passo 1
Beleza! Vamos resolver um exercício de equações diferenciais. A gente precisa mostrar que é uma solução da equação diferencial . Depois, vamos encontrar uma segunda solução na forma e provar que essas duas soluções formam um conjunto fundamental. Para isso, vamos precisar usar a teoria de equações diferenciais lineares e o método de redução de ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se realmente resolve a equação diferencial. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de .
A derivada primeira de é:
A derivada segunda de é:
Passo 3
Agora, vamos substituir , e na equação diferencial para verificar se ela se anula:
Então, é de fato uma solução da equação diferencial.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma segunda solução . Para isso, usamos o método de redução de ordem. Primeiro, derivamos :
Primeira derivada de :
Segunda derivada de :
Passo 5
Substituímos , e na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 6
Agora, temos uma equação diferencial para :
Vamos dividir por (considerando ):
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Vamos chamar , então:
Passo 7
Essa equação pode ser resolvida usando o fator integrante. O fator integrante é:
Multiplicando a equação por :
Integrando ambos os lados:
Lembrando que :
Passo 8
Integrando novamente para encontrar :
Podemos considerar e para simplificar, então:
Passo 9
Portanto, a segunda solução é:
Passo 10
Para provar que e são soluções fundamentais, precisamos mostrar que elas são linearmente independentes. Calculamos o Wronskiano:
[ W(y_1, y_2) =
]
Como o Wronskiano é diferente de zero, as soluções são linearmente independentes e, portanto, formam um conjunto fundamental.
Resposta
As soluções e são soluções fundamentais da equação diferencial dada.