Mostre que y1(x) = x^3 é solução da equação diferencial 2 x^2 * d^2y/dx^2 - x * dy/dx - 9y = 0. Encontre uma função v(x) tal que y2(x) = v(x) y1(x) seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções são soluções fundamentais.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que é uma solução da equação diferencial . Depois, precisamos encontrar uma função tal que também seja solução da mesma equação e provar que essas duas soluções são fundamentais. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções complementares.

Passo 2

Primeiro, vamos verificar se realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de .
Sabemos que:
Agora, substituímos esses valores na equação diferencial:
Como a equação é satisfeita, é de fato uma solução.

Passo 3

Agora, precisamos encontrar uma função tal que também seja solução da equação diferencial. Para isso, usamos o método da variação de parâmetros.
Assumimos que é uma função derivável, então:
Substituindo e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Dividindo por :

Passo 4

Agora, temos uma equação diferencial para :
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja , então . Substituindo na equação:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o fator integrante.
O fator integrante é dado por:
Multiplicando a equação por :
Integrando ambos os lados:
Lembrando que :
Integrando novamente para encontrar :
Sem perda de generalidade, podemos considerar para descobrir uma solução particular:

Passo 5

Com , a segunda solução é:
Então, temos duas soluções:

Passo 6

Para provar que e são soluções fundamentais, precisamos mostrar que elas são linearmente independentes. Isso pode ser feito calculando o Wronskiano dessas soluções.
O Wronskiano é dado por:
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo:
Como o Wronskiano não é zero para , as soluções são linearmente independentes e, portanto, fundamentais.

Resposta

As soluções e são soluções fundamentais da equação diferencial .

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