Mostre que
é solução da equação diferencial
. Encontre uma função
tal que
seja solução da equação dada. Prove que as duas soluções são soluções fundamentais.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos pede para mostrar que
é uma solução da equação diferencial
. Depois, precisamos encontrar uma função
tal que
também seja solução da mesma equação e provar que essas duas soluções são fundamentais. Vamos precisar usar conceitos de equações diferenciais lineares e métodos para encontrar soluções complementares.
Passo 2
Primeiro, vamos verificar se
realmente satisfaz a equação diferencial dada. Para isso, precisamos calcular a primeira e a segunda derivadas de
.
Sabemos que:
Agora, substituímos esses valores na equação diferencial:
Como a equação é satisfeita,
é de fato uma solução.
Passo 3
Agora, precisamos encontrar uma função
tal que
também seja solução da equação diferencial. Para isso, usamos o método da variação de parâmetros.
Assumimos que
é uma função derivável, então:
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Dividindo por
:
Passo 4
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Vamos fazer uma substituição para simplificar. Seja
, então
. Substituindo na equação:
Esta é uma equação diferencial linear de primeira ordem. Podemos resolvê-la usando o fator integrante.
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando a equação por
:
Integrando ambos os lados:
Lembrando que
:
Integrando novamente para encontrar
:
Sem perda de generalidade, podemos considerar
para descobrir uma solução particular:
Passo 5
Com
, a segunda solução é:
Então, temos duas soluções:
Passo 6
Para provar que
e
são soluções fundamentais, precisamos mostrar que elas são linearmente independentes. Isso pode ser feito calculando o Wronskiano dessas soluções.
O Wronskiano
é dado por:
Calculando as derivadas:
Agora, substituindo:
Como o Wronskiano não é zero para
, as soluções são linearmente independentes e, portanto, fundamentais.
Resposta
As soluções
e
são soluções fundamentais da equação diferencial
.