Considere a EDO linear não-homogênea de coeficientes não-constantes
, duas vezes diferenciável, tal que y_{2}(t)=t u(t)$ também seja uma solução particular de (
.
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para determinar uma função
, duas vezes diferenciável, de modo que
seja uma solução particular da equação diferencial ordinária (EDO) linear não-homogênea de coeficientes não-constantes dada por:
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de EDOs, especificamente sobre como encontrar soluções particulares utilizando métodos de substituição.
Passo 2
Primeiro, vamos expressar
e calcular suas derivadas necessárias para substituir na equação (
).
Calculando a primeira derivada
:
Agora, calculamos a segunda derivada
:
Passo 3
Agora, substituímos
,
e
na equação (
):
Vamos simplificar cada termo:
-
-
-
-
-
permanece igual.
Substituindo de volta na equação:
Observamos que
e
se anulam:
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Simplificando:
Passo 4
Vamos dividir toda a equação por
para simplificar:
Rearranjando os termos:
Passo 5
Agora, temos uma equação diferencial para
:
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para
. Vamos fazer a substituição
, o que transforma a equação em:
Passo 6
Para resolver essa equação linear, podemos usar o fator integrante. Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão:
O fator integrante
é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada de
:
Passo 7
Integrando ambos os lados em relação a
:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Resolvendо para
:
Passo 8
Lembrando que
, temos:
Integrando novamente para encontrar
:
Onde
é outra constante de integração.
Passo 9
Como estamos procurando uma solução particular, podemos considerar
e
para simplificar. Assim, a função
fica:
Resposta
A função
que satisfaz as condições do exercício é: