Considere a EDO linear não-homogênea de coeficientes não-constantes
t^2 y'' + t y' - y = t
u = u(t)çã, duas vezes diferenciável, tal que y_{2}(t)=t u(t)$ também seja uma solução particular de ( também seja uma solução particular de (.

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para determinar uma função , duas vezes diferenciável, de modo que seja uma solução particular da equação diferencial ordinária (EDO) linear não-homogênea de coeficientes não-constantes dada por:
Para resolver isso, vamos precisar aplicar conceitos de EDOs, especificamente sobre como encontrar soluções particulares utilizando métodos de substituição.

Passo 2

Primeiro, vamos expressar e calcular suas derivadas necessárias para substituir na equação ( ).
Calculando a primeira derivada :
Agora, calculamos a segunda derivada :

Passo 3

Agora, substituímos , e na equação ( ):
Vamos simplificar cada termo:
  1. permanece igual.
Substituindo de volta na equação:
Observamos que e se anulam:
Agora, combinamos os termos semelhantes:
Simplificando:

Passo 4

Vamos dividir toda a equação por para simplificar:
Rearranjando os termos:

Passo 5

Agora, temos uma equação diferencial para :
Essa é uma equação diferencial linear de primeira ordem para . Vamos fazer a substituição , o que transforma a equação em:

Passo 6

Para resolver essa equação linear, podemos usar o fator integrante. Primeiro, escrevemos a equação na forma padrão:
O fator integrante é dado por:
Multiplicando toda a equação pelo fator integrante:
Observamos que o lado esquerdo agora é a derivada de :

Passo 7

Integrando ambos os lados em relação a :
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Resolvendо para :

Passo 8

Lembrando que , temos:
Integrando novamente para encontrar :
Onde é outra constante de integração.

Passo 9

Como estamos procurando uma solução particular, podemos considerar e para simplificar. Assim, a função fica:

Resposta

A função que satisfaz as condições do exercício é:

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