Sejam F(s) = L(f(t)) e Y(s) = L{y(t)}. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
f F(s) = (1 - e^(-pi s)) / (s^2 + 4);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício de Transformada de Laplace! A gente tem a função no domínio de :
E precisamos encontrar a transformada inversa dessa função, ou seja, descobrir qual é no tempo. Para isso, vamos usar propriedades de transformadas de Laplace, como a linearidade e o teorema de deslocamento no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a fração em duas partes usando a linearidade da transformada de Laplace:
Isso nos ajuda a tratar cada termo individualmente.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a transformada inversa de cada termo separadamente. Começando com o primeiro termo:
Sabemos que:
Comparando com nosso termo, vemos que , então:

Passo 4

Agora, vamos para o segundo termo:
Aqui, usamos o teorema de deslocamento no tempo, que diz:
Onde é a função degrau unitário. No nosso caso, e . Já encontramos a inversa de no passo anterior, que é .

Passo 5

Aplicando o teorema de deslocamento:

Resposta

Juntando tudo, a transformada inversa de é:

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