Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
.
Passo 1
Beleza, vamos começar pelo que a questão está pedindo. Temos uma função
definida por partes e queremos encontrar a sua transformada de Laplace, ou seja,
. Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve integrar a função multiplicada por
de 0 até o infinito.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a função
:
Isso significa que de 0 a 2, a função vale zero, e a partir de 2, ela é igual a
.
Passo 3
A definição da transformada de Laplace é:
Como
é diferente de zero apenas a partir de
, podemos dividir a integral:
O primeiro termo é zero porque estamos multiplicando por zero.
Passo 4
Focando na segunda integral:
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja
, então quando
,
, e quando
,
. Além disso,
.
Passo 5
Substituindo na integral:
Aqui, tiramos
porque é uma constante em relação a
.
Passo 6
Agora, precisamos resolver a integral:
Essa é uma integral padrão da transformada de Laplace, onde:
No nosso caso,
, então:
Passo 7
Substituindo de volta na expressão anterior:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: