Seja L{f(t)} = F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
f(t) = { 0, 0 <= t < 2; (t - 2)^2, t >= 2 }.

Passo 1

Beleza, vamos começar pelo que a questão está pedindo. Temos uma função definida por partes e queremos encontrar a sua transformada de Laplace, ou seja, . Para isso, vamos usar a definição da transformada de Laplace, que envolve integrar a função multiplicada por de 0 até o infinito.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a função :
Isso significa que de 0 a 2, a função vale zero, e a partir de 2, ela é igual a .

Passo 3

A definição da transformada de Laplace é:
Como é diferente de zero apenas a partir de , podemos dividir a integral:
O primeiro termo é zero porque estamos multiplicando por zero.

Passo 4

Focando na segunda integral:
Vamos fazer uma substituição para simplificar a integral. Seja , então quando , , e quando , . Além disso, .

Passo 5

Substituindo na integral:
Aqui, tiramos porque é uma constante em relação a .

Passo 6

Agora, precisamos resolver a integral:
Essa é uma integral padrão da transformada de Laplace, onde:
No nosso caso, , então:

Passo 7

Substituindo de volta na expressão anterior:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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