Resolver as seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Você quer resolver a equação diferencial de segunda ordem:
Essa equação pertence ao tópico de equações diferenciais lineares de segunda ordem. Para resolver, a gente vai precisar encontrar a solução da parte homogênea e depois uma solução particular da equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é a parte sem o termo que não depende de
:
Essa é uma equação linear com coeficientes constantes. A gente resolve encontrando a equação característica.
Passo 3
A equação característica é formada substituindo
na equação homogênea:
Resolvendo para
:
Passo 4
Com os valores de
encontrados, a solução geral da equação homogênea é:
Onde
e
são constantes que a gente determina com base nas condições iniciais (se tiverem sido dadas).
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Para isso, normalmente usamos o método dos coeficientes indeterminados ou variação de parâmetros. Porém, o termo do lado direito
é complicado porque envolve
, que não é uma função para a qual os métodos padrão funcionam facilmente.
Passo 6
Dado que
não é uma função exponencial linear comum, os métodos tradicionais não são eficazes para encontrar uma solução particular em termos de funções elementares. Portanto, não conseguimos expressar
de forma simples usando esses métodos.
Resposta
A solução geral da equação diferencial é apenas a parte homogênea:
Onde
e
são constantes que dependem das condições iniciais ou de contorno dadas.