Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
d^2y/dx^2 - 4 dy/dx + 4y = 2 e^(2x) + x/2.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem mista:
Vamos resolver essa equação usando métodos de equações lineares não homogêneas. Precisamos achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz dupla .

Passo 3

Como a raiz é dupla, a solução geral da parte homogênea é:
onde e são constantes de integração.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Observamos que o lado direito tem duas partes: e . Vamos encontrar soluç��es particulares para cada parte separadamente e depois somá-las.

Passo 5

Primeiro, para a parte , percebemos que já está na solução homogênea. Então, para evitar soluções repetidas, multiplicamos por x:
Onde A é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Agora, para a parte , que é um polinômio de primeiro grau, assumimos uma solução particular da forma:
Onde B e C são constantes a serem encontradas.

Passo 7

Vamos calcular as derivadas de e e substituí-las na equação original para encontrar as constantes A, B e C.
Para :
Para :

Passo 8

Substituindo na equação original:
Para :
Simplificando:
Isso nos mostra que nossa suposição para não funciona. Então, tentamos multiplicar ainda mais por x:

Passo 9

Calculando as derivadas de :
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:

Passo 10

Agora, para , substituímos na equação original:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:

Passo 11

Então, a solução particular completa é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial dada é:
onde e são constantes arbitrárias.

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