Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem mista:
Vamos resolver essa equação usando métodos de equações lineares não homogêneas. Precisamos achar a solução geral, que é a soma da solução da equação homogênea e de uma solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
Para isso, encontramos as raízes da equação característica associada:
Resolvendo essa equação quadrática:
Temos uma raiz dupla
.
Passo 3
Como a raiz é dupla, a solução geral da parte homogênea é:
onde
e
são constantes de integração.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Observamos que o lado direito tem duas partes:
e
. Vamos encontrar soluç��es particulares para cada parte separadamente e depois somá-las.
Passo 5
Primeiro, para a parte
, percebemos que
já está na solução homogênea. Então, para evitar soluções repetidas, multiplicamos por
:
Onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Agora, para a parte
, que é um polinômio de primeiro grau, assumimos uma solução particular da forma:
Onde
e
são constantes a serem encontradas.
Passo 7
Vamos calcular as derivadas de
e
e substituí-las na equação original para encontrar as constantes
,
e
.
Para
:
Para
:
Passo 8
Substituindo na equação original:
Para
:
Simplificando:
Isso nos mostra que nossa suposição para
não funciona. Então, tentamos multiplicar ainda mais por
:
Passo 9
Calculando as derivadas de
:
Substituindo na equação original:
Simplificando:
Então:
Passo 10
Agora, para
, substituímos na equação original:
Simplificando:
Comparando os coeficientes:
Passo 11
Então, a solução particular completa é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial dada é:
onde
e
são constantes arbitrárias.