Considere a EDO linear não-homogênea de coeficientes não-constantes
de maneira análoga ao que é feito quando os coeficientes da equação são constantes. Sabendo disto, use o método de variação de parâmetros para determinar a solução de
.
Passo 1
Resumo do Enunciado:
Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não-homogênea de coeficientes que não são constantes:
Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não-homogênea de coeficientes que não são constantes:
Conteúdo Necessário:
Para resolver essa equação, vamos utilizar o Método de Variação de Parâmetros, que é uma técnica eficaz para encontrar soluções particulares de EDOs não-homogêneas, mesmo quando os coeficientes não são constantes. Precisaremos também conhecer as soluções da equação homogênea associada.
Para resolver essa equação, vamos utilizar o Método de Variação de Parâmetros, que é uma técnica eficaz para encontrar soluções particulares de EDOs não-homogêneas, mesmo quando os coeficientes não são constantes. Precisaremos também conhecer as soluções da equação homogênea associada.
Passo 2
Encontrando a Equação Homogênea Associada:
Primeiro, vamos considerar a equação homogênea correspondente a , ou seja, substituindo o lado direito por zero:
Primeiro, vamos considerar a equação homogênea correspondente a
Resolvendo a Equação Homogênea:
Assumimos uma solução da forma , onde
é uma constante a ser determinada.
Assumimos uma solução da forma
Calculando as derivadas:
Substituindo na equação homogênea:
Simplificando:
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo
, devemos ter:
Soluções da Equação Homogênea:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
Passo 3
Aplicando o Método de Variação de Parâmetros:
Agora, buscamos uma solução particular da equação não-homogênea na forma:
Agora, buscamos uma solução particular da equação não-homogênea na forma:
onde
e
são funções a serem determinadas.
Derivando
:
Primeira derivada:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Simplificando com Condições Adicionais:
Para facilitar os cálculos, impomos as condições:
Para facilitar os cálculos, impomos as condições:
Calculando o Wronskiano:
O Wronskiano das soluções
e
é dado por:
O Wronskiano
Determinação das Funções
e
:
As fórmulas para e
são:
As fórmulas para
Integrando
e
:
Desconsiderando as constantes de integração (já que buscamos uma solução particular), temos:
Passo 4
Construindo a Solução Particular:
Substituindo e
na expressão para
:
Substituindo
Resposta
A solução geral da EDO
é dada por:
onde
e
são constantes arbitrárias.