Considere a EDO linear não-homogênea de coeficientes não-constantes
(star) t^2 y^prime prime+t y^prime-y=t
(c) O Método de Variação de Parâmetros resolve qualquer tipo de equação diferencial linear não-homogênea, mesmo que os coeficientes não sejam constantes Se conhecermos as soluções particulares da equação homogênea associada, basta determinar a solução particular ypéçãâçããêãçõçãêçã de maneira análoga ao que é feito quando os coeficientes da equação são constantes. Sabendo disto, use o método de variação de parâmetros para determinar a solução de (star).

Passo 1

Resumo do Enunciado:
Estamos lidando com uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não-homogênea de coeficientes que não são constantes:
t^2 y'' + t y' - y = t (star)
Conteúdo Necessário:
Para resolver essa equação, vamos utilizar o Método de Variação de Parâmetros, que é uma técnica eficaz para encontrar soluções particulares de EDOs não-homogêneas, mesmo quando os coeficientes não são constantes. Precisaremos também conhecer as soluções da equação homogênea associada.

Passo 2

Encontrando a Equação Homogênea Associada:
Primeiro, vamos considerar a equação homogênea correspondente a (star), ou seja, substituindo o lado direito por zero:
t^2 y'' + t y' - y = 0
Resolvendo a Equação Homogênea:
Assumimos uma solução da forma y = t^m, onde m é uma constante a ser determinada.
Calculando as derivadas:
y' = m t^m-1
y'' = m(m-1) t^m-2
Substituindo na equação homogênea:
t^2 cdot m(m-1) t^m-2 + t cdot m t^m-1 - t^m = 0
Simplificando:
m(m-1) t^m + m t^m - t^m = [m^2 - m + m - 1] t^m = (m^2 - 1) t^m = 0
Para que essa igualdade seja verdadeira para todo t neq 0, devemos ter:
m^2 - 1 = 0 Rightarrow m = pm 1
Soluções da Equação Homogênea:
Portanto, as soluções da equação homogênea são:
y1 = t e y2 = 1t

Passo 3

Aplicando o Método de Variação de Parâmetros:
Agora, buscamos uma solução particular da equação não-homogênea na forma:
yp = u1(t) y1(t) + u2(t) y2(t)
onde u1(t) e u2(t) são funções a serem determinadas.
Derivando yp:
Primeira derivada:
yp' = u1' y1 + u1 y1' + u2' y2 + u2 y2'
Segunda derivada:
yp'' = u1'' y1 + 2u1' y1' + u1 y1'' + u2'' y2 + 2u2' y2' + u2 y2''
Simplificando com Condições Adicionais:
Para facilitar os cálculos, impomos as condições:
u1' y1 + u2' y2 = 0
Calculando o Wronskiano:
O Wronskiano u1' y1' + u2' y2' = tt^2 das soluções W e y1 é dado por:
y2
Determinação das Funções W = y1 y2' - y2 y1' = t cdot (-1t^2) - 1t cdot 1 = -1t - 1t = -2t e u1:
As fórmulas para u2 e u1' são:
u2'
u1' = -y2 cdot R(t)W = -1t cdot t-2t = 12
Integrando u2' = y1 cdot R(t)W = t cdot t-2t = -t^32 e u1':
u2'
u1 = integral u1' dt = integral 12 dt = 12 t + C
Desconsiderando as constantes de integração (já que buscamos uma solução particular), temos:
u2 = integral u2' dt = integral -t^32 dt = -t^48 + C
u1 = 12 t

Passo 4

Construindo a Solução Particular:
Substituindo u1 e u2 na expressão para yp:
yp = u1 y1 + u2 y2 = (12 t) cdot t + (-t^48) cdot 1t = 12 t^2 - t^38

Resposta

A solução geral da EDO (star) é dada por:
y(t) = C1 t + C2 1t + 12 t^2 - t^38
onde C1 e C2 são constantes arbitrárias.

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