Seja
. Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
;
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função
usando a definição da transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e aplicar algumas identidades trigonométricas para simplificar a função.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função
é dada por:
Onde
é uma variável complexa.
Passo 3
Agora, aplicamos essa definição à nossa função
:
Passo 4
Para facilitar a integração, vamos usar uma identidade trigonométrica que expressa
em termos de
:
Passo 5
Substituindo essa identidade na integral, temos:
Passo 6
Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. A primeira integral é:
A segunda integral, que envolve o termo
, é uma transformada de Laplace conhecida:
Passo 7
Substituindo os resultados das integrais na expressão original, temos:
Passo 8
Podemos simplificar ainda mais a expressão combinando os termos:
Resposta
A transformada de Laplace de
é: