Seja L{f(t)} = F(s). Determine a transformada de Laplace de cada uma das seguintes funções através da definição.
f(t) = cos^2(a t);

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrarmos a transformada de Laplace da função usando a definição da transformada de Laplace. Para isso, vamos precisar entender a definição da transformada de Laplace e aplicar algumas identidades trigonométricas para simplificar a função.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar a definição da transformada de Laplace. A transformada de Laplace de uma função é dada por:
Onde é uma variável complexa.

Passo 3

Agora, aplicamos essa definição à nossa função :

Passo 4

Para facilitar a integração, vamos usar uma identidade trigonométrica que expressa em termos de :

Passo 5

Substituindo essa identidade na integral, temos:

Passo 6

Vamos resolver cada uma das integrais separadamente. A primeira integral é:
A segunda integral, que envolve o termo , é uma transformada de Laplace conhecida:

Passo 7

Substituindo os resultados das integrais na expressão original, temos:

Passo 8

Podemos simplificar ainda mais a expressão combinando os termos:

Resposta

A transformada de Laplace de é:

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