Sejam
e
. Determine a transformada inversa de Laplace da função:
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão de transformada inversa de Laplace! O enunciado nos dá uma função
e pede para determinarmos
, que é a transformada inversa de
. Para isso, vamos usar conceitos de frações parciais e identificar as transformadas conhecidas na tabela de Laplace.
Passo 2
Primeiro, vamos fatorar o denominador da fração
:
Então, a função fica:
Passo 3
Agora, vamos decompô-la em frações parciais. Queremos escrever
como:
Multiplicando ambos os lados por
, temos:
Passo 4
Para encontrar os valores de
,
e
, vamos escolher valores estratégicos de
:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 5
Agora que encontramos
,
e
, podemos reescrever
:
Passo 6
Vamos aplicar a transformada inversa de Laplace em cada termo:
- Para
:
- Para
:
- Para
:
Passo 7
Agora, multiplicamos cada transformada pelos coeficientes correspondentes: