Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver a equação diferencial
. Essa é uma equação diferencial linear de ordem três com termos mistos, ou seja, tem uma parte homogênea e outra não homogênea. Para resolver, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais lineares, como solução geral, equação característica e método de coeficientes a determinar.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação:
. Para isso, encontramos a equação característica associada:
Passo 3
Resolvendo a equação característica
, temos:
Então, a equação característica tem uma raiz real
com multiplicidade três. Isso significa que as soluções da parte homogênea são:
onde
,
, e
são constantes arbitrárias.
Passo 4
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Como o lado direito é um polinômio de terceiro grau, assumimos que a solução particular também será um polinômio da mesma ordem:
Passo 5
Calculamos as derivadas de
necessárias:
Passo 6
Substituímos
e suas derivadas na equação original:
Simplificando:
Passo 7
Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos dos dois lados da equação:
Para
:
Para
:
Para
:
Para o termo constante:
Passo 8
Com os valores encontrados, a solução particular fica:
Passo 9
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:
Resposta
A solução geral da equação é: