Resolver as seguintes equações mistas (4 ㅇaso):
f d^3y/dx^3 - y = x^3 - 1.

Passo 1

Beleza, vamos resolver a equação diferencial . Essa é uma equação diferencial linear de ordem três com termos mistos, ou seja, tem uma parte homogênea e outra não homogênea. Para resolver, vamos precisar conhecer conceitos de equações diferenciais lineares, como solução geral, equação característica e método de coeficientes a determinar.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação: . Para isso, encontramos a equação característica associada:

Passo 3

Resolvendo a equação característica , temos:
Então, a equação característica tem uma raiz real com multiplicidade três. Isso significa que as soluções da parte homogênea são:
onde , , e são constantes arbitrárias.

Passo 4

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Como o lado direito é um polinômio de terceiro grau, assumimos que a solução particular também será um polinômio da mesma ordem:

Passo 5

Calculamos as derivadas de necessárias:

Passo 6

Substituímos e suas derivadas na equação original:
Simplificando:

Passo 7

Agora, igualamos os coeficientes dos mesmos termos dos dois lados da equação:
Para x^3:
Para x^2:
Para x:
Para o termo constante:

Passo 8

Com os valores encontrados, a solução particular fica:

Passo 9

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular:

Resposta

A solução geral da equação é:

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