Considere a EDO linear não-homogênea de coeficientes não-constantes
é solução particular da equação homogênea associada a (*), isto é,
é solução de
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não-homogênea com coeficientes que não são constantes. O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a função
é uma solução particular da equação homogênea associada. Ou seja, vamos ver se ao substituir
na equação homogênea, a gente realmente satisfaz a equação.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação homogênea. Ela é do tipo onde o termo independente é igual a zero. No nosso caso, a equação homogênea associada é:
Queremos verificar se
satisfaz essa equação.
Passo 3
Vamos começar calculando as derivadas de
.
A primeira derivada de
é:
A segunda derivada de
é:
Passo 4
Agora que temos
,
e
, vamos substituir esses valores na equação homogênea:
Simplificando:
Passo 5
Vemos que, ao substituir
na equação homogênea, o lado esquerdo da equação se iguala a zero:
Isso confirma que
é, de fato, uma solução particular da equação homogênea associada.
Resposta
Sim,
é uma solução da equação homogênea associada.