Considere a EDO linear não-homogênea de coeficientes não-constantes
t^2 y'' + t y' - y = t
y1(t) = t é solução particular da equação homogênea associada a (*), isto é, y1 é solução de
t^2 y'' + t y' - y = 0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nesse exercício juntos! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) linear não-homogênea com coeficientes que não são constantes. O que a gente precisa fazer aqui é verificar se a função é uma solução particular da equação homogênea associada. Ou seja, vamos ver se ao substituir na equação homogênea, a gente realmente satisfaz a equação.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma equação homogênea. Ela é do tipo onde o termo independente é igual a zero. No nosso caso, a equação homogênea associada é:
Queremos verificar se satisfaz essa equação.

Passo 3

Vamos começar calculando as derivadas de .
A primeira derivada de é:
A segunda derivada de é:

Passo 4

Agora que temos , e , vamos substituir esses valores na equação homogênea:
Simplificando:

Passo 5

Vemos que, ao substituir na equação homogênea, o lado esquerdo da equação se iguala a zero:
Isso confirma que é, de fato, uma solução particular da equação homogênea associada.

Resposta

Sim, é uma solução da equação homogênea associada.

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