Considere a equação diferencial do sistema massa-mola forçado sem amortecimento m ddotu+k u=F0 cos (omega t). Mostre que:
(a) se omega neq omega0 a solução geral é dada por
u(t)=c1 cos (omega0 t)+c2 sin (omega0 t)+F0m(omega0^2-omega^2) cos (omega t)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema massa-mola sem amortecimento, que é forçado por uma força externa. A equação é:
m ddotu + k u = F0 cos(omega t)
Aqui, u(t) = c1 cos(omega0 t) + c2 sin(omega0 t) + F0m(omega0^2 - omega^2) cos(omega t) é a massa, é a constante da mola, é a amplitude da força externa e é a frequência dessa força. Nosso objetivo é mostrar que, quando é diferente de (a frequência natural do sistema), a solução geral dessa equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente encontrando a solução geral que é a soma da solução homogênea e da solução particular.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
m ddotu + k u = 0
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve isso assumindo uma solução da forma , onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 3

Substituindo m r^2 e^rt + k e^rt = 0 na equação homogênea:
m r^2 + k = 0
Dividindo ambos os lados por m r^2 + k = 0 (que nunca é zero):
Isso nos dá a equação característica:

Passo 4

Resolvendo para r^2 = -km :
r = pm i raizkm = pm i omega0
uh(t) = c1 cos(omega0 t) + c2 sin(omega0 t)
Onde é a frequência natural do sistema. Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui, e são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do sistema.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular m ddotu + k u = F0 cos(omega t) para a equação completa:
up(t) = A cos(omega t)
Como o lado direito da equação é uma função trigonométrica ( ), vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde é uma constante que vamos determinar.

Passo 6

Calculando as derivadas necessárias:
dotup(t) = -A omega sin(omega t)
ddotup(t) = -A omega^2 cos(omega t)
Substituindo m (-A omega^2 cos(omega t)) + k (A cos(omega t)) = F0 cos(omega t) e suas derivadas na equação diferencial:
(-m A omega^2 + k A) cos(omega t) = F0 cos(omega t)
Simplificando:

Passo 7

Para que essa igualdade seja válida para todo -m A omega^2 + k A = F0 , os coeficientes de A (-m omega^2 + k) = F0 devem ser iguais. Então:
A = F0k - m omega^2
Fatorando A = F0m(omega0^2 - omega^2) :
Resolvendo para :
Podemos reescrever isso como:
Pois .

Passo 8

Então, a solução particular é:
up(t) = F0m(omega0^2 - omega^2) cos(omega t)

Passo 9

A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
u(t) = uh(t) + up(t) = c1 cos(omega0 t) + c2 sin(omega0 t) + F0m(omega0^2 - omega^2) cos(omega t)

Resposta

A solução geral da equação diferencial do sistema massa-mola forçado sem amortecimento, quando u(t) = c1 cos(omega0 t) + c2 sin(omega0 t) + F0m(omega0^2 - omega^2) cos(omega t) , é:

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