Considere a equação diferencial do sistema massa-mola forçado sem amortecimento
. Mostre que:
a solução geral é dada por
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial que descreve um sistema massa-mola sem amortecimento, que é forçado por uma força externa. A equação é:
Aqui,
é a massa,
é a constante da mola,
é a amplitude da força externa e
é a frequência dessa força. Nosso objetivo é mostrar que, quando
é diferente de
(a frequência natural do sistema), a solução geral dessa equação é:
Para resolver isso, vamos precisar usar métodos de equações diferenciais lineares, especificamente encontrando a solução geral que é a soma da solução homogênea e da solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a parte homogênea da equação, que é:
Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes. A gente resolve isso assumindo uma solução da forma
, onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 3
Substituindo
na equação homogênea:
Dividindo ambos os lados por
(que nunca é zero):
Isso nos dá a equação característica:
Passo 4
Resolvendo para
:
Onde
é a frequência natural do sistema. Como as raízes são complexas, a solução geral da parte homogênea é:
Aqui,
e
são constantes que são determinadas pelas condições iniciais do sistema.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito da equação é uma função trigonométrica (
), vamos tentar uma solução particular da forma:
Onde
é uma constante que vamos determinar.
Passo 6
Calculando as derivadas necessárias:
Substituindo
e suas derivadas na equação diferencial:
Simplificando:
Passo 7
Para que essa igualdade seja válida para todo
, os coeficientes de
devem ser iguais. Então:
Fatorando
:
Resolvendo para
:
Podemos reescrever isso como:
Pois
.
Passo 8
Então, a solução particular é:
Passo 9
A solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial do sistema massa-mola forçado sem amortecimento, quando
, é: