Resolver as seguintes equações diferenciais:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial
. Isso entra na matéria de equações diferenciais ordinárias, mais especificamente nas equações lineares não homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é
. Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.
Passo 3
Resolvendo a equação homogênea
, buscamos soluções da forma
. Substituindo na equação, temos:
Como
nunca é zero, temos
, ou seja,
.
Passo 4
As soluções gerais para
são combinações de funções trigonométricas:
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, precisamos encontrar uma solução particular
para a equação completa
. Vamos usar o método de variação de parâmetros, já que o termo do lado direito é uma função não usual.
Passo 6
Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea
e
. Calculamos o Wronskiano
dessas soluções:
Passo 7
Aplicando a fórmula da variação de parâmetros para encontrar
:
onde
.
Passo 8
Substituindo os valores:
Simplificando:
Então:
Passo 9
Calculando as integrais:
Ignoramos as constantes de integração porque elas serão absorvidas na solução homogênea.
Passo 10
Substituindo de volta:
Passo 11
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
onde
e
são constantes arbitrárias.