Resolver as seguintes equações diferenciais:
c d^2y/dx^2 + y = 1/sen(x).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que resolver a equação diferencial . Isso entra na matéria de equações diferenciais ordinárias, mais especificamente nas equações lineares não homogêneas. Para resolver isso, vamos precisar encontrar a solução geral da equação homogênea e uma solução particular para a parte não homogênea.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Essa é uma equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes.

Passo 3

Resolvendo a equação homogênea , buscamos soluções da forma . Substituindo na equação, temos:
Como nunca é zero, temos , ou seja, .

Passo 4

As soluções gerais para são combinações de funções trigonométricas:
onde e são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, precisamos encontrar uma solução particular para a equação completa . Vamos usar o método de variação de parâmetros, já que o termo do lado direito é uma função não usual.

Passo 6

Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea e . Calculamos o Wronskiano dessas soluções:

Passo 7

Aplicando a fórmula da variação de parâmetros para encontrar :
onde .

Passo 8

Substituindo os valores:
Simplificando:
Então:

Passo 9

Calculando as integrais:
Ignoramos as constantes de integração porque elas serão absorvidas na solução homogênea.

Passo 10

Substituindo de volta:

Passo 11

Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea e da solução particular:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:
onde e são constantes arbitrárias.

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