Considere-se a EDO linear não homogènea de segunda ordem com coeficientes variaivels
x^2 y'' - x y + y = ln(x)
Sabe-se que y1(x) = x e y2(x) = x ln(x) siio soluções da EDO homogènea associada. Usar o método de variaçio dos parametros para determinar a soluçioo geral da EDO completa.
[A] y(x) = c1 * x + c2 * x * ln(x) + x^2 * ln(x) + 1/2.
BB y(t) = c1 * x + c2 * x * ln(x) - 3/4 * t^2 * exp(t) + 1/2 * t^2 * exp(t) * ln(t).
[C] u(t) = c1 x + c2 x ln(x) + (2 x ln^3(x)) / 3
D] u(t) = c1 * x + c2 * x * ln(x) + ln(x) + 2

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis. A equação que a gente tem é:
Sabemos que as soluções da equação homogênea associada são e . Vamos usar o método de variação dos parâmetros para achar a solução geral da equação completa. Para isso, precisamos aplicar algumas fórmulas e passos específicos que vêm da teoria de equações diferenciais.

Passo 2

Primeiro, lembrando do método de variação dos parâmetros: a ideia é encontrar uma solução particular da equação completa. A solução geral será então a soma da solução geral da homogênea com essa solução particular:
Aqui, e são constantes que determinamos com as condições iniciais.

Passo 3

Para encontrar , usamos a fórmula:
onde e é o Wronskiano das soluções homogêneas.

Passo 4

Calculando o Wronskiano :
Substituindo e , temos:

Passo 5

Agora, substituindo na fórmula de :
Simplificando as integrais e resolvendo, encontramos:

Resposta

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