Considere-se a EDO linear não homogènea de segunda ordem com coeficientes variaivels
Sabe-se que
e
siio soluções da EDO homogènea associada. Usar o método de variaçio dos parametros para determinar a soluçioo geral da EDO completa.
[A]
.
BB
.
[C]
D]
[A]
BB
[C]
D]
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial de segunda ordem com coeficientes variáveis. A equação que a gente tem é:
Sabemos que as soluções da equação homogênea associada são
e
. Vamos usar o método de variação dos parâmetros para achar a solução geral da equação completa. Para isso, precisamos aplicar algumas fórmulas e passos específicos que vêm da teoria de equações diferenciais.
Passo 2
Primeiro, lembrando do método de variação dos parâmetros: a ideia é encontrar uma solução particular
da equação completa. A solução geral será então a soma da solução geral da homogênea com essa solução particular:
Aqui,
e
são constantes que determinamos com as condições iniciais.
Passo 3
Para encontrar
, usamos a fórmula:
onde
e
é o Wronskiano das soluções homogêneas.
Passo 4
Calculando o Wronskiano
:
Substituindo
e
, temos:
Passo 5
Agora, substituindo na fórmula de
:
Simplificando as integrais e resolvendo, encontramos: