Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função
.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função
. Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e depois aplicar isso duas vezes para obter as derivadas de segunda ordem.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a
e
.
Derivada parcial em relação a
:
A derivada parcial de em relação a
é encontrada tratando
como constante.
A derivada parcial de
Sabemos que
. Então,
Derivada parcial em relação a
:
Agora, derivamos em relação a
, tratando
como constante.
Agora, derivamos
Sabemos que
. Então,
Passo 3
Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar
e
novamente em relação a
e
.
Derivada de segunda ordem
:
Derivamos em relação a
.
Derivamos
Aqui,
é tratado como constante. Derivando
:
Então,
Derivada de segunda ordem
:
Derivamos em relação a
.
Derivamos
Derivando
:
Então,
Derivadas de segunda ordem mistas
e
:
Vamos derivar em relação a
e
em relação a
.
Vamos derivar
Primeiro,
:
Segundo,
:
Perceba que
, o que é consistente com o Teorema de Schwarz.
Resposta
As derivadas parciais de segunda ordem da função
são: