Determine as derivadas parciais de segunda ordem da função .

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa encontrar as derivadas parciais de segunda ordem da função . Isso faz parte do conteúdo de cálculo diferencial, especificamente sobre derivadas parciais. Para resolver, vamos precisar lembrar como calcular derivadas parciais e depois aplicar isso duas vezes para obter as derivadas de segunda ordem.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de primeira ordem em relação a e .
Derivada parcial em relação a :
A derivada parcial de em relação a é encontrada tratando como constante.
Sabemos que . Então,
Derivada parcial em relação a :
Agora, derivamos em relação a , tratando como constante.
Sabemos que . Então,

Passo 3

Agora, vamos encontrar as derivadas parciais de segunda ordem. Isso significa que vamos derivar e novamente em relação a e .
Derivada de segunda ordem :
Derivamos em relação a .
Aqui, é tratado como constante. Derivando :
Então,
Derivada de segunda ordem :
Derivamos em relação a .
Derivando :
Então,
Derivadas de segunda ordem mistas e :
Vamos derivar em relação a e em relação a .
Primeiro, :
Segundo, :
Perceba que , o que é consistente com o Teorema de Schwarz.

Resposta

As derivadas parciais de segunda ordem da função são:

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.
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[A] .
BB .
[C]
D]