Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o gradiente de ou o gradiente de . Aqui, é um campo vetorial dado por:
Vamos focar em encontrar . Para isso, precisamos entender que o gradiente de um campo vetorial na verdade é a sua matriz jacobiana, que mostra como cada componente de varia em relação a cada variável.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de um campo vetorial. O gradiente é uma matriz onde cada elemento é a derivada parcial da -ésima componente de em relação à -ésima variável. No nosso caso, as variáveis são .
Então, se , a matriz jacobiana fica assim:
Passo 3
Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais.
Primeira linha (derivadas de ):
(derivada de em relação a )
(não tem na expressão)
(não tem na expressão)
Segunda linha (derivadas de ):
(não tem na expressão)
(derivada de em relação a )
(não tem na expressão)
Terceira linha (derivadas de ):
(não tem na expressão)
(não tem na expressão)
(derivada de em relação a )
Passo 4
Agora que temos todas as derivadas, podemos montar a matriz jacobiana :
Essa é uma matriz diagonal, o que significa que cada componente de depende apenas de uma variável.