Encontre nabla z ou nabla w. w = -9 x^8 i - 3 y^2 j + 12 z^11 k.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O enunciado pede para encontrar o gradiente de ou o gradiente de . Aqui, é um campo vetorial dado por:
Vamos focar em encontrar . Para isso, precisamos entender que o gradiente de um campo vetorial na verdade é a sua matriz jacobiana, que mostra como cada componente de varia em relação a cada variável.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é o gradiente de um campo vetorial. O gradiente é uma matriz onde cada elemento é a derivada parcial da -ésima componente de em relação à -ésima variável. No nosso caso, as variáveis são .
Então, se , a matriz jacobiana fica assim:

Passo 3

Agora, vamos calcular cada uma das derivadas parciais.
  1. Primeira linha (derivadas de ):
    • (derivada de em relação a )
    • (não tem na expressão)
    • (não tem na expressão)
  2. Segunda linha (derivadas de ):
    • (não tem na expressão)
    • (derivada de em relação a )
    • (não tem na expressão)
  3. Terceira linha (derivadas de ):
    • (não tem na expressão)
    • (não tem na expressão)
    • (derivada de em relação a )

Passo 4

Agora que temos todas as derivadas, podemos montar a matriz jacobiana :
Essa é uma matriz diagonal, o que significa que cada componente de depende apenas de uma variável.

Resposta

O gradiente de é:

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