Considere a EDO y''' + y'' + y' + y = G(x). Obtenha a sua solução geral quando G(x) = 30 * e^(2 * x).

Passo 1

Vamos resolver a equação diferencial de ordem 3 dada por . Isso pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Para encontrar a solução geral, precisamos determinar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica substituindo :

Passo 3

Vamos fatorar a equação característica . Observe que podemos agrupar termos:
Portanto, as raízes são e .

Passo 4

Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde são constantes arbitrárias.

Passo 5

Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa:
Como o lado direito é uma função exponencial, assumimos uma solução particular da forma , onde é uma constante a ser determinada.

Passo 6

Calculamos as derivadas de :
Substituindo na equação diferencial:

Passo 7

Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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