Considere a EDO
. Obtenha a sua solução geral quando
.
Passo 1
Vamos resolver a equação diferencial de ordem 3 dada por
. Isso pertence à matéria de Equações Diferenciais Ordinárias (EDO). Para encontrar a solução geral, precisamos determinar a solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada:
Para isso, encontramos a equação característica substituindo
:
Passo 3
Vamos fatorar a equação característica
. Observe que podemos agrupar termos:
Portanto, as raízes são
e
.
Passo 4
Com as raízes encontradas, a solução geral da equação homogênea é:
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 5
Agora, vamos encontrar uma solução particular
para a equação completa:
Como o lado direito é uma função exponencial, assumimos uma solução particular da forma
, onde
é uma constante a ser determinada.
Passo 6
Calculamos as derivadas de
:
Substituindo na equação diferencial:
Passo 7
Simplificando:
Então:
Portanto, a solução particular é:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: