Determine o raio e o intervalo de convergência das séries de potências abaixo.
(o) sumn=0^infty n^4(x-1)^ne^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem que encontrar o raio e o intervalo de convergência da série de potências:
sumn=0^infty n^4(x-1)^ne^n
Isso faz parte da matéria de Séries de Potências. Para resolver, vamos precisar usar o Teste da Razão, que ajuda a determinar até onde a série converge.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teste da Razão. Ele diz que, para uma série de potências da forma sum an (x - c)^n, calculamos o limite:
L = limn to infty | an+1an |
Se L < 1, a série converge. Se L > 1, diverge. E se L = 1, o teste não consegue dizer.

Passo 3

Agora, vamos aplicar esse teste na nossa série. Primeiro, identificamos an:
an = n^4e^n
Então, calculamos an+1:
an+1 = (n+1)^4e^n+1

Passo 4

Agora, vamos montar a razão | an+1an |:
| an+1an | = | (n+1)^4/e^n+1n^4/e^n | = | (n+1)^4n^4 cdot e^ne^n+1 | = | (n+1n)^4 cdot 1e |
Simplificando:
(n+1n)^4 = (1 + 1n)^4

Passo 5

Agora, calculamos o limite quando n vai para o infinito:
L = limn to infty (1 + 1n)^4 cdot 1e
Sabemos que limn to infty (1 + 1n)^4 = 1, então:
L = 1 cdot 1e = 1e

Passo 6

Segundo o Teste da Razão, para a série convergir, precisamos que L cdot |x - 1| < 1:
1e cdot |x - 1| < 1
Isso nos dá:
|x - 1| < e

Passo 7

O raio de convergência ( R) é o valor que está ao lado da desigualdade:
R = e
Para o intervalo de convergência, resolvemos a desigualdade:
1 - e < x < 1 + e

Resposta

O raio de convergência da série é R = e e o intervalo de convergência é 1 - e < x < 1 + e.

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