Seja L(y)(s) a transformada de Laplace da solução do PVI y'' + y = u2(t) - u5(t), y(0) = 0, y'(0) = 0. Obtenha L(y)(s).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma equação diferencial com condições iniciais e precisa encontrar a transformada de Laplace da solução dessa equação. O enunciado nos dá:
Aqui, e são funções degrau (funções de Heaviside) que “ligam” a força aplicada na equação nos instantes e , respectivamente. Vamos usar a transformada de Laplace para resolver essa equação diferencial.

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em toda a equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de uma derivada tem a seguinte propriedade:
onde .
Aplicando isso à nossa equação:
Substituindo as transformadas das derivadas e sabendo que e :
Então, simplificando:

Passo 3

Agora, vamos isolar para encontrar a transformada de Laplace da solução:
Esse é o resultado final da transformada de Laplace da solução da equação diferencial dada.

Resposta

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