Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(b) f(x) = 1/(4 + x^3)

Passo 1

Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências centrada em zero para a função . Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são expressões do tipo . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como manipulá-las para adequar à nossa função.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que nos ajude a aplicar a fórmula da série geométrica. A ideia é fatorar o denominador para isolarmos uma parte que seja semelhante à forma , que sabemos que pode ser expandida em uma série geométrica.
Então, começamos assim:

Passo 3

Agora, observe que temos a expressão . Isso se parece muito com a fórmula da série geométrica, que diz que:
Mas no nosso caso, temos no denominador. Para ajustar, podemos reescrever como , assim:
Agora, podemos aplicar a série geométrica onde .

Passo 4

Aplicando a série geométrica, temos:
Simplificando a expressão dentro da soma:

Passo 5

Lembrando que inicialmente fatoramos a função por , então devemos multiplicar a série que obtivemos por :
Podemos também escrever , mas a expressão acima já está adequada como série de potências.

Resposta

A representação em série de potências centrada em zero para a função é:
Essa série converge para valores de tais que , ou seja, .

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