Encontre uma representação em série de potências, centradas em zero, para as funções abaixo.
(b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver o exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências centrada em zero para a função . Aqui, estamos trabalhando com séries de potências, que são expressões do tipo . Para isso, vamos precisar entender um pouco sobre séries geométricas e como manipulá-las para adequar à nossa função.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a função de uma forma que nos ajude a aplicar a fórmula da série geométrica. A ideia é fatorar o denominador para isolarmos uma parte que seja semelhante à forma , que sabemos que pode ser expandida em uma série geométrica.
Então, começamos assim:
Passo 3
Agora, observe que temos a expressão . Isso se parece muito com a fórmula da série geométrica, que diz que:
Mas no nosso caso, temos no denominador. Para ajustar, podemos reescrever como , assim:
Agora, podemos aplicar a série geométrica onde .
Passo 4
Aplicando a série geométrica, temos:
Simplificando a expressão dentro da soma:
Passo 5
Lembrando que inicialmente fatoramos a função por , então devemos multiplicar a série que obtivemos por :
Podemos também escrever , mas a expressão acima já está adequada como série de potências.
Resposta
A representação em série de potências centrada em zero para a função é:
Essa série converge para valores de tais que , ou seja, .