Resolver a EDO
(3 x^2 + y^2) dx + 2 x y dy = 0
Resposta: x^3 + x * y(x)^2 = c.

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
Aqui, precisamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e que satisfaça a equação. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais exatas e verificar se a equação é exata. Se não for, podemos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma EDO geral da forma:
é exata se satisfaz a condição:
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 3

Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Agora, vamos determinar usando a outra parte da condição de exatidão. Sabemos que:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando às duas expressões:
Isso simplifica para:
Integrando em relação a :
onde é uma constante.

Passo 5

Agora que temos , a função fica:
Para encontrar a solução geral da EDO, igualamos a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

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