Resolver a EDO
Resposta:
.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
Aqui, precisamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
que satisfaça a equação. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais exatas e verificar se a equação é exata. Se não for, podemos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma EDO geral da forma:
é exata se satisfaz a condição:
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 3
Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, vamos determinar
usando a outra parte da condição de exatidão. Sabemos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões:
Isso simplifica para:
Integrando em relação a
:
onde
é uma constante.
Passo 5
Agora que temos
, a função
fica:
Para encontrar a solução geral da EDO, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é:
Exercícios relacionados
As EDOs de primeira ordem da forma
em que
satisfaz
são denominadas homogêneas de grau 0 . A função
é homogênea de grau
se
Para as equações homogêneas de grau 0 , o lado direito
pode ser escrito
como uma função da razão
. Então, a substituição
transforma a EDO em outra EDO para
que é separável. Com base neste idéia:
(a) Resolva a EDO
(a) Resolva a EDO
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{u(t)-t}{u(t)+t}
\frac{1}{2} \log \left(t{2}+u{2}\right)+\operatorname{arctg}(u / t)=C
$$
(*) Considere a EDO
Supondo que a EDO admite um fator integrante da forma
encontre
tais que a EDO resultante é EXATA.
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta:
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta:
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{t^{2}+t u(t)+u(t){2}}{t{2}}, \quad u(1)=1
u(t)=t \operatorname{tg}\left(\log (t)+\frac{\pi}{4}\right)$$
$$
f(t, u(t))=f\left(t, t \frac{u(t)}{t}\right)=f\left(1, \frac{u(t)}{t}\right)=h\left(\frac{u(t)}{t}\right)$$
Obtenha soluções particulares para as equações pelo método dos coeficientes a determinar.
(a)
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(h)
(i)
Respostas:
(a)
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)