Resolver a EDO
Resposta: .

Passo 1

Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
Aqui, precisamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre e que satisfaça a equação. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais exatas e verificar se a equação é exata. Se não for, podemos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma EDO geral da forma:
é exata se satisfaz a condição:
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como , a equação é exata!

Passo 3

Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função tal que:
Para encontrar , vamos integrar em relação a :
Aqui, é uma função que depende apenas de .

Passo 4

Agora, vamos determinar usando a outra parte da condição de exatidão. Sabemos que:
Calculando a derivada de em relação a :
Igualando às duas expressões:
Isso simplifica para:
Integrando em relação a :
onde é uma constante.

Passo 5

Agora que temos , a função fica:
Para encontrar a solução geral da EDO, igualamos a uma constante:

Resposta

A solução geral da equação diferencial é:

Exercícios relacionados

As EDOs de primeira ordem da forma
em que satisfaz
são denominadas homogêneas de grau 0 . A função é homogênea de grau se
Para as equações homogêneas de grau 0 , o lado direito pode ser escrito como uma função da razão . Então, a substituição transforma a EDO em outra EDO para que é separável. Com base neste idéia:
(a) Resolva a EDO
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{u(t)-t}{u(t)+t} çããéêççãá
\frac{1}{2} \log \left(t{2}+u{2}\right)+\operatorname{arctg}(u / t)=C
$$
(*) Considere a EDO
Supondo que a EDO admite um fator integrante da forma
encontre tais que a EDO resultante é EXATA.
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta:
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{t^{2}+t u(t)+u(t){2}}{t{2}}, \quad u(1)=1 íçã
u(t)=t \operatorname{tg}\left(\log (t)+\frac{\pi}{4}\right)$$
$$
f(t, u(t))=f\left(t, t \frac{u(t)}{t}\right)=f\left(1, \frac{u(t)}{t}\right)=h\left(\frac{u(t)}{t}\right)$$
Obtenha soluções particulares para as equações pelo método dos coeficientes a determinar.
(a)
(b)
©
(d)
(f)
(h)
(i)
Respostas:
(a)
(b)
©
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)