Resolver a EDO
Resposta:
.
Passo 1
Então, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) do tipo:
Aqui, precisamos resolver essa equação para encontrar uma relação entre
e
que satisfaça a equação. Para isso, vamos precisar usar conhecimentos sobre equações diferenciais exatas e verificar se a equação é exata. Se não for, podemos precisar encontrar um fator integrante para torná-la exata.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa uma equação diferencial ser exata. Uma EDO geral da forma:
é exata se satisfaz a condição:
Aqui, temos:
Vamos calcular as derivadas parciais:
Como
, a equação é exata!
Passo 3
Como a EDO é exata, podemos encontrar uma função
tal que:
Para encontrar
, vamos integrar
em relação a
:
Aqui,
é uma função que depende apenas de
.
Passo 4
Agora, vamos determinar
usando a outra parte da condição de exatidão. Sabemos que:
Calculando a derivada de
em relação a
:
Igualando às duas expressões:
Isso simplifica para:
Integrando em relação a
:
onde
é uma constante.
Passo 5
Agora que temos
, a função
fica:
Para encontrar a solução geral da EDO, igualamos
a uma constante:
Resposta
A solução geral da equação diferencial é: