As EDOs de primeira ordem da forma
em que
satisfaz
são denominadas homogêneas de grau 0 . A função
é homogênea de grau
se
Para as equações homogêneas de grau 0 , o lado direito
pode ser escrito
como uma função da razão
. Então, a substituição
transforma a EDO em outra EDO para
que é separável. Com base neste idéia:
(a) Resolva a EDO
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{u(t)-t}{u(t)+t}
\frac{1}{2} \log \left(t{2}+u{2}\right)+\operatorname{arctg}(u / t)=C
$$
(a) Resolva a EDO
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem que olha assim:
Essa EDO é chamada de homogênea de grau 0. O que isso significa? Quer dizer que a função do lado direito depende apenas da razão entre
e
. Para resolver esse tipo de equação, a gente vai usar uma substituição esperta:
. Isso vai transformar a EDO original em uma equação que a gente consegue separar e resolver mais fácil.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer a substituição que a gente falou:
. Isso quer dizer que:
Agora, precisamos encontrar a derivada de
em termos de
. Usando a regra do produto, a gente tem:
Isso nos ajuda a reescrever a EDO original usando
.
Passo 3
Vamos substituir
e
na EDO original:
Simplificando a fração do lado direito, a gente fica com:
Passo 4
Agora, vamos isolar
para conseguir separar as variáveis. Subtraindo
de ambos os lados:
Vamos simplificar o lado direito:
Então, temos:
Passo 5
A equação agora está pronta para separar as variáveis
e
:
Isso significa que a gente pode integrar cada lado separadamente.
Passo 6
Vamos integrar os dois lados da equação:
Primeiro, vamos simplificar a integral do lado esquerdo dividindo a fração:
Agora, integramos cada parte:
Do lado direito, a integral é direta:
Juntando tudo, temos:
Passo 7
Agora, vamos voltar à substituição que fizemos no início,
. Substituindo de volta na equação:
Simplificando dentro do logaritmo:
Resposta
A solução geral da EDO é dada por: