As EDOs de primeira ordem da forma
em que satisfaz
são denominadas homogêneas de grau 0 . A função é homogênea de grau se
Para as equações homogêneas de grau 0 , o lado direito pode ser escrito como uma função da razão . Então, a substituição transforma a EDO em outra EDO para que é separável. Com base neste idéia:
(a) Resolva a EDO
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{u(t)-t}{u(t)+t} çããéêççãá
\frac{1}{2} \log \left(t{2}+u{2}\right)+\operatorname{arctg}(u / t)=C
$$

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem que olha assim:
Essa EDO é chamada de homogênea de grau 0. O que isso significa? Quer dizer que a função do lado direito depende apenas da razão entre e . Para resolver esse tipo de equação, a gente vai usar uma substituição esperta: . Isso vai transformar a EDO original em uma equação que a gente consegue separar e resolver mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição que a gente falou: . Isso quer dizer que:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em termos de . Usando a regra do produto, a gente tem:
Isso nos ajuda a reescrever a EDO original usando .

Passo 3

Vamos substituir e na EDO original:
Simplificando a fração do lado direito, a gente fica com:

Passo 4

Agora, vamos isolar para conseguir separar as variáveis. Subtraindo de ambos os lados:
Vamos simplificar o lado direito:
Então, temos:

Passo 5

A equação agora está pronta para separar as variáveis e :
Isso significa que a gente pode integrar cada lado separadamente.

Passo 6

Vamos integrar os dois lados da equação:
Primeiro, vamos simplificar a integral do lado esquerdo dividindo a fração:
Agora, integramos cada parte:
Do lado direito, a integral é direta:
Juntando tudo, temos:

Passo 7

Agora, vamos voltar à substituição que fizemos no início, . Substituindo de volta na equação:
Simplificando dentro do logaritmo:

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:

Exercícios relacionados

(*) Considere a EDO
Supondo que a EDO admite um fator integrante da forma
encontre tais que a EDO resultante é EXATA.
Obtenha as soluções desta EDO.
Resposta:
Resolver a EDO
Resposta: .
Resolver a EDO
Resposta: .
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{t^{2}+t u(t)+u(t){2}}{t{2}}, \quad u(1)=1 íçã
u(t)=t \operatorname{tg}\left(\log (t)+\frac{\pi}{4}\right)$$
$$
f(t, u(t))=f\left(t, t \frac{u(t)}{t}\right)=f\left(1, \frac{u(t)}{t}\right)=h\left(\frac{u(t)}{t}\right)$$