As EDOs de primeira ordem da forma
du/dt = f(t, u(t))
em que f satisfaz
f(lambda, lambda t) = f(1, t), para todo lambda em R, lambda ≠ 0
são denominadas homogêneas de grau 0 . A função f é homogênea de grau n se
f(lambda, lambda t) = lambda^n f(1, t), forall lambda em R, lambda diferente de 0
Para as equações homogêneas de grau 0 , o lado direito f(t, u(t)) pode ser escrito 1 como uma função da razão u(t) / t. Então, a substituição v(t) = u(t) / t transforma a EDO em outra EDO para v que é separável. Com base neste idéia:
(a) Resolva a EDO
$$
\frac{d u}{d t}=\frac{u(t)-t}{u(t)+t} du/dt=(u(t)-t)/(u(t)+t)çããéêççãá
\frac{1}{2} \log \left(t{2}+u{2}\right)+\operatorname{arctg}(u / t)=C
$$

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente precisa resolver aqui! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem que olha assim:
Essa EDO é chamada de homogênea de grau 0. O que isso significa? Quer dizer que a função do lado direito depende apenas da razão entre e . Para resolver esse tipo de equação, a gente vai usar uma substituição esperta: . Isso vai transformar a EDO original em uma equação que a gente consegue separar e resolver mais fácil.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer a substituição que a gente falou: . Isso quer dizer que:
Agora, precisamos encontrar a derivada de em termos de . Usando a regra do produto, a gente tem:
Isso nos ajuda a reescrever a EDO original usando .

Passo 3

Vamos substituir e na EDO original:
Simplificando a fração do lado direito, a gente fica com:

Passo 4

Agora, vamos isolar para conseguir separar as variáveis. Subtraindo de ambos os lados:
Vamos simplificar o lado direito:
Então, temos:

Passo 5

A equação agora está pronta para separar as variáveis e :
Isso significa que a gente pode integrar cada lado separadamente.

Passo 6

Vamos integrar os dois lados da equação:
Primeiro, vamos simplificar a integral do lado esquerdo dividindo a fração:
Agora, integramos cada parte:
Do lado direito, a integral é direta:
Juntando tudo, temos:

Passo 7

Agora, vamos voltar à substituição que fizemos no início, . Substituindo de volta na equação:
Simplificando dentro do logaritmo:

Resposta

A solução geral da EDO é dada por:

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