Considere a EDO
. Determine a constante
tal que
seja solução da EDO dada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma
para
. Nosso objetivo é encontrar o valor da constante
tal que a função
seja solução dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais e como substituí-las para verificar se uma função proposta é solução.
Passo 2
Primeiro, vamos substituir a função proposta
na EDO. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de
em relação a
.
Passo 3
Calculando as derivadas:
- A primeira derivada de
é . - A segunda derivada de
é .
Passo 4
Agora, substituímos
,
e
na equação original:
Passo 5
Vamos simplificar a expressão:
Como
nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por
, ficando:
Passo 6
Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Como essa equação precisa ser válida para todo
, os coeficientes de
e o termo constante devem ser iguais a zero.
Passo 7
Então, estabelecemos duas equações:
Passo 8
Resolvendo a primeira equação:
E a segunda equação:
Comparando os resultados, a única solução que satisfaz ambas é
.
Resposta
A constante
que torna
solução da EDO dada é
.
Exercícios relacionados
Em cada caso, verique que a função
dada é solução da EDO e encontre sua solução geral.
Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
Sabendo que a
possui uma solução constante, encontre sua solução geral.
Encontre a solução geral das seguintes EDOs: