Considere a EDO x y'' - y' + (2 - 4 x) y = 0, x > 0. Determine a constante a tal que y = e^(a x) seja solução da EDO dada.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos apresenta uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) da forma para . Nosso objetivo é encontrar o valor da constante a tal que a função seja solução dessa EDO. Para resolver isso, vamos precisar conhecer um pouco sobre equações diferenciais e como substituí-las para verificar se uma função proposta é solução.

Passo 2

Primeiro, vamos substituir a função proposta na EDO. Para isso, precisamos calcular as primeiras e segundas derivadas de y em relação a x.

Passo 3

Calculando as derivadas:
  • A primeira derivada de y é .
  • A segunda derivada de y é .

Passo 4

Agora, substituímos y, e na equação original:

Passo 5

Vamos simplificar a expressão:
Como e^(a x) nunca é zero, podemos dividir ambos os lados por e^(a x), ficando:

Passo 6

Agora, vamos agrupar os termos semelhantes:
Como essa equação precisa ser válida para todo , os coeficientes de x e o termo constante devem ser iguais a zero.

Passo 7

Então, estabelecemos duas equações:

Passo 8

Resolvendo a primeira equação:
E a segunda equação:
Comparando os resultados, a única solução que satisfaz ambas é .

Resposta

A constante a que torna solução da EDO dada é .

Exercícios relacionados